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1 rette di cui tre sono sopranumerarie e una è spigolo del pentaedro. Evi- 

 dentemente non esistono piani che contengano due spigoli del pentaedro e due 

 sopranumerarie; o tre spigoli e una sopranumeraria perchè il piano di due 

 spigoli (o di tre) è sempre una faccia del pentaedro e quindi le altre rette 

 che contiene sono ancora spigoli del pentaedro medesimo. Neppure possono 

 stare in un medesimo piano quattro sopranumerarie. Infatti, ogni sopranume- 

 raria contiene un punto di Eckardt. Ora, non può essere che un tal punto 

 sia quello comune a due delle quattro rette in discorso, altrimenti quelle due 

 sarebbero coniugate e il piano di due coniugate non contiene altre sopranume- 

 rarie, ma tocca l'Hessiana lungo uno spigolo del pentaedro. Avremmo dunque 

 in un piano quattro sopranumerarie e almeno quattro punti di Eckardt ; mentre 

 ogni piano che contenga almeno 4 punti di Eckardt o è un piano diagonale, o 

 una faccia del pentaedro. 



« Abbiamo quindi il teorema: 



«Le 20 rette sopr anum e rari e giacciono a tre, a tre in 20 

 piani ognuno passante per uno spigolo del pentaedro. Questi 

 e le facce del pentaedro costituiscono i soli 25 piani capaci 

 di tagliare l'Hessiana secondo 4 rette. 



« Per un punto diagonale di 2 a specie passano i piani diagonali dei ver- 

 tici di un triangolo pentaedrale; e anche i tre piani armonici dei tre vertici 

 che insieme al triangolo suddetto appartengono a una medesima faccia del 

 pentaedro. Per un centro esarmonico passano i 6 piani armonici dei 6 vertici 

 giacenti in una medesima faccia. 



« Dunque: 



« I 15 punti diagonali di l a specie, i 20 di seconda e i 5 

 centri esarmonici costituiscono i 40 poli delle facce del pen- 

 taedro di Sylvester. 



« 9. La sezione di un piano armonico sull'Hessiana è costituita da imo 

 spigolo del pentaedro e da una cubica C ; sia C 0 la curva luogo dei vertici 

 dei coni polari dei punti di C. Nell'omologia armonica 2, in cui il piano ar- 

 monico che si considera è piano unito, l'Hessiana possiede come curva unita 

 la C ; dunque anche la C 0 deve essere curva unita, cioè C 0 coincide con C. 



«Ciascuna'delle 10 cubiche dell'hessiana contenute nei 

 piani armonici del pentaedro, gode la proprietà di essere il 

 luogo dei vertici dei coni polari dei suoi punti, cioè di es- 

 sere Hessiana della cubica secondo la quale il medesi- 

 mo pia no taglia la superficie fondamentale e di avere 

 tre flessi a comune con quest'ultima curva nei tre vertici 

 del pentaedro che il suddetto piano contiene. 



«Nel sistema di rette dello spazio che uniscono punti 

 corrispondenti della hessiana (secondo la corrispondenza 

 stabilita dai coni polari) sono contenute 10 curve piane 



