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Matematica. — Di una recente forinola per esprimere le radici 

 dell'equazione generale algebrica. Nota del Corrisp. G. B. Favero. 



- 1. Lo studio delle radici delle equazioni algebriche condusse alcuni 

 matematici a fermare la loro attenzione sulle risolventi differenziali, coni' esse 

 furono chiamate, credo per la prima volta, dal Harley ('). 



a Riguardati i coefficienti dell'equazione algebrica di grado a come fun- 

 zioni razionali di un parametro variabile t, si dimostra esistere sempre una 

 equazione differenziale lineare di n mo ordine, con coefficienti razionali in t, la 

 quale possiede come integrali particolari le n radici dell'equazione algebrica. 



« Siccome questa equazione differenziale si può sempre costruire, così il 

 problema di trovare le radici della proposta è trasformato nella ricerca 

 degl' integrali dell'equazione differenziale. Di qui la qualifica di risolvente 

 data a questa equazione. 



« Il sig. Heymami (Math. Ann. B. XXVI) tratta a questo modo l'equa- 

 zione trinomia x n — ax — b = 0, e più tardi (Math. Ann. XXVIII) con 

 maggiore generalità la trinomia x n + ax n ~ s -+- b = 0 . Prese le mosse dagli 

 studi dello Spitzer, il Heymann dimostra che le rispettive risolventi diffe- 

 renziali sono soddisfatte da integrali definiti multipli, riducibili ad integrali 

 definiti semplici. Questi integrali contengono la radice n ma dell'unità, e sono 

 quindi suscettibili di n valori, corrispondenti alle n radici dell'equazione. 

 Egli sviluppa poi in serie gl' integrali definiti, e discute e determina le con- 

 dizioni di convergenza delle serie ottenute. 



« In un libro pubblicato quest'anno Studien uber die Trans formatto u 

 und Integration der Differential- und Differenzengleichungen, Leipzig 1891, 

 il Heymann, dopo riportati i lavori da lui pubblicati nei Math. Ann. e sopra 

 citati, si occupa dell'equazione generale algebrica di grado n. Anche per 

 questa egli dimostra l'esistenza della risolvente differenziale e degl' integrali 

 definiti. Però mentre negli studi sulle trinomie la ricerca dell'equazione dif- 

 ferenziale risolvente e dei suoi integrali formano il cammino necessario per 

 giungere alle serie esprimenti le radici (o le loro potenze m me ), nello studio 

 sull'equazione generale egli passa direttamente dall'equazione proposta alla 

 serie esprimente la potenza m ma delle radici, senza V intermezzo della risol- 

 vente differenziale e dei suoi integrali. 



« Per lo scopo della presente Nota gioverà riportare qui la serie tro- 

 vata dal Heymann, indicando brevemente la via da lui seguita per ottenerla 

 (opera citata, pag. 248 e sgg.). 



« 2. Data l'equazione 

 (1) r t n -+- -f- 1 = 0 , V = x s r/ 1 -* + x r H hx p r^P 



(') Quarterly Journal of Mathematics, voi. V. 

 Kendiconti. 1891, Vol. VII, 1° Sem. 



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