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« Se ora nella (3) * e g non sono contemporaneamente nulle, le v non 

 potranno essere tutte nulle, e quindi neppure la h, e siccome 



n^> n — p , .... n^> n — s 

 così, moltiplicando rispettivamente per v p ... v s , e poi sommando verrà 



Q 



nh > (n — p) r p -J- ••• + (w — s) i' s , ossia per la (3) A — x > — • 



Ma A — « è un intero, mentre — è nullo, oppure frazione positiva, dunque 

 sarà sempre 



h — x ^ 1 . 



Perciò se g ^> 0 , tutti i termini di A g sotto il segno sommatorio conten- 

 gono la a n elevata ad un esponente intero negativo (lo zero escluso). E ciò 

 vale anche per tutti i termini di A 0 , eccetto il solo caso in cui sia, oltre 

 0 = 0, anche x = 0 . Ma quando g = 0 , x = 0 , tutte le v p ... v s e quindi 

 anche la h sono nulle. Si ha allora il primo termine della serie esprimente 

 la s, quello che corrisponde ad ap— ... a p — §. Il valore di s è in questo caso 



z 0 — (— a n f = % m aj l . 



« Ciò essendo, si potranno ordinare i termini sotto il segno sommatorio 

 di kg per potenze decrescenti di a n e si avrà 



A 0 = + ^ + A A ff = ^+^- h ,: ; V 0=I,... W -1 



e quindi 



- = z m a n \ 1 4- — - + ■•-+- ra n n ! — -f — 



Introducendo adunque una quantità u mediante la relazione a n u n + 1 = 0, 

 si ha x x x 



1 n n n \ 



— =—iC\ t 1 a H =(—1) a n =-t- 



a n ir 



ed ordinando per potenze di u si ottiene la trasformata cercata 

 (8) * (1 + CoM + Ci ^ + ...) 



tv 



dove non vi sono altre irrazionalità che quella inerente alla u. 



* Ora si vede senz'altro che quest'ultima forinola si può ottenere diret- 

 tamente dalla data (4), ponendo a n u n -h 1 = 0 , considerandovi 1' u come 

 parametro variabile e sviluppando la quantità (uy) m per potenze crescenti di u. 



« Ciò si è fatto nella citata Memoria del 16 marzo 1890 per m — 1. 



essendosi posto x = — -h c 0 + c x u -+-- = — (1 -f- c 0 u-h c x u 2 +■••) ; nè 

 lo sviluppo cambia natura passando ad un m qualunque. 



