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- Quanto al valore di m merita però d'essere notato, che lo sviluppo 

 per m = 1 ha qualche vantaggio : esso permette di riconoscere alcune pro- 

 prietà dei coefficienti c, come quella che C\ n = 0 , ecc. che non sussistono 

 più per m qualunque. 



« Ma ciò che costituisce la parte essenziale di questa ricerca si è l'esame 

 della convergenza delle serie ottenute. Molte infatti sono le serie trovate per 

 esprimere le radici dell'equazione generale algebrica di grado n. Ora una 

 serie per potenze crescenti di un parametro può esser tale, che essa definisca 

 bensì una funzione algebrica per tutto il piano delle quantità complesse, ad 

 eccezione dei punti singolari, e quindi anche mediante continuazione (Fort- 

 setzung) al di là del proprio circolo di convergenza ; ma essa non è atta alla 

 valutazione della funzione per un punto qualunque di detto piano, se non nel 

 caso, che i punti singolari siano conosciuti. 



« Una serie per potenze crescenti di un parametro esprimente le ra- 

 dici dell'equazione generale algebrica non può dunque accettarsi come solu- 

 zioni, se non siano trovati (appunto per il caso generale) i punti singolari 

 della funzione definita dalla serie. Quando questa condizione sia soddisfatta 

 la serie è spesso preferibile (per la valutazione della funzione) all' integrale 

 definito o ad altra espressione chiusa (geschlossener Ausdruck), che ne rap- 

 presenti la somma, come osserva anche il Heymann (op. cit. p. 255). 



« Ora la scelta della u come parametro presenta appunto il vantaggio 

 che ponendo a zero il discriminante D si ha un' equazione di grado n — 1 , 

 per determinare i punti singolari. Ne viene che nella citata Memoria del 1890 

 si è potuta stabilire questa proposizione fondamentale per l'attuale ricerca: 

 « Si possono calcolare, col grado di approssimazione che si desidera, tutte 

 le radici della proposta di grado n, quando siano conosciute, anche per ap- 

 prossimazione, quelle della D = 0 di grado n — 1 » (pag. 418). 



« Termineremo con un' ultima osservazione. L'autore intitola il suo studio : 

 Transce adente Auflòsung der allgemeinen Gleichung n Un Grades. Ora il 

 legame che esiste fra le radici dell'equazione algebrica ed i suoi coefficienti, 

 o fra le dette radici ed un parametro variabile di cui i coefficienti siano fun- 

 zioni razionali, è un legame algebrico, cioè le radici sono funzioni algebriche 

 dei coefficienti o di quel parametro. Se si distinguono adunque le funzioni 

 algebriche dalle trascendenti, la soluzione in parola non è trascendente, in 

 questo senso che in essa non si ricorre mai a legami diversi dagli algebrici. 

 Infatti le funzioni S ed E posseggono un numero finito di punti singolari e 

 sono quindi funzioni algebriche (vedi Mem. cit. del 1890. e vedi anche: 

 C. Neumann, Riemana s Theorie der AbeV schea Iategrale, 2 a ed. pag. 122): 

 il presentarsi sviluppate in serie non ne cambia la natura. La qualifica di 

 trascendenti dovrebbe dunque riservarsi a quelle soluzioni, che ricorrono a 

 quantità ausiliarie stabilendo fra queste ed i coefficienti, e fra queste e le 

 radici dei legami di natura diversa dall'algebrica. Tali sono le soluzioni go- 



