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Matematica. — Sulle linee assintotiche di una classe di su- 

 perficie gobbe di genere zero. Nota del prof. Giulio Pittarelli, 

 presentata a nome del Socio Cremona. 



« Prima che Sophus Lie nel 1871 facesse conoscere il bel teorema: 



« Sopra ogni superficie gobba contenuta in un com- 

 plesso lineare è una curva assintotica, le cui tangenti ap- 

 partengono al complesso, ed essa può trovarsi senza inte- 

 grazione ( ! ) ; già Clebsch e Cremona avevano dato vari teoremi generali 

 sulle assintotiche delle superficie gobbe ( 2 ). 



« Oltre ai lavori citati in nota, io mi riferisco alla Memoria del prof. Cre- 

 mona, pubblicata dopo di quelli nel V. I della 2 a serie de^li Annali di 

 matematica, nella quale ei trovò per integrazione che le assintotiche 

 di una certa classe di superficie gobbe di genere zero e con 

 due direttrici rettilinee multiple sono algebriche. 



« Or quell' integrazione non è facile, perchè la preparazione dell'equa- 

 zione differenziale e la separazione delle variabili richiedono sottili artifizi di 

 algebra. Approfittando invece delle formole di rappresentazione del Cremona 

 stesso, si trova subito l'equazione di un fascio di complessi lineari, cui la 

 superficie appartiene; indi, col teorema di Lie, l'equazione, in termini finiti, 

 dell' immagine del fascio di assintotiche. Una poi qualunque di tali imma- 

 gini porge una trasformazione involutoria di Jonquières del piano rappresen- 

 tativo, alla quale corrisponde nello spazio una trasformazione dualistica della 

 superficie in sè stessa. 



u In questa Nota mi propongo di far veder ciò per le rigate # di ge- 

 nere zero con le due direttrici multiple distinte; in un'altra poi mi occuperò 

 delle rigate *P pure di genere zero, ma con le sue direttrici infinitamente 

 vicine. 



« La rigata d> sia dell'ordine N = m -+- n , del genere zero, con due di- 

 rettrici multiple secondo i numeri m ed n (m = n) poste nei due lati ^ 1 =r I r 2 =U, 

 ^3 = ^4 = 0 del tetraedro fondamentale. 



( 1 ) V. Math. Annalen Bel V nella ricca Memoria: Ueber Compiette ecc. a pag. 179. 

 e nello stesso volume l'altra di Klein, Liniengeometrie und metrische Geometrie a pag. 274, 

 oltre alla Nota dello stesso Klein alla Memoria di Clebsch, Geradlinige Flache ecc. a 

 pag. 23. 



( 2 ) Clebsch, Ueber die Steiner'sche Flache nel voi. 67 del Creile : Ueber die Curven 

 der Haupttangenten nel voi. 68. Cremona, Rappresentazione della superficie di Steiner 

 e delle superficie gobbe del 3° grado, nei voi. Ili e IV dei Rendiconti dell'Istituto Lombardo. 



