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« Se 



a=a\ m , b = b\ m , c = c^- m 



1) 



sono forme binarie in A x : l 2 , le equazioni date dal Cremona della superfìcie (P 

 sono, tranne la diversa segnatura, 



2) Xi'.Xz'.Xs'.xi— ac:bc:lzuy;l z @y . 



Le A'; sono funzioni dell'ordine jx in A (A x A, 2 3 ). Se m^> n il numero /t è 

 almeno eguale ad m; e se m — n /x è almeno eguale ad m -+- 1 (Cremona). 



« Le coordinate «f del piano w tangente a <P nel punto a? (punto 1, 

 come si suol dire) sono 



3) u x : u 2 : u 3 : u A = m (a/S) #yA 3 : — m (a/?) ayl 3 : » (ab) pc : — n (ab) ac 

 dov' è posto, per brevità, 



~òOt 



(afi) = jacobiano («,/?) = a l fa — a 2 fa , «j = — ecc. 



~ò*-i 



Le % sono funzioni in A d'ordine = m -+- u -h fi — 2 . 



« Le generatrici della superficie hanno per coordinate-raggi Sij—Xiyj — Xjy.% 

 i determinanti tratti dalla matrice 



ac bc 0 0 

 0 0 ccy §y 



che sono 



4) z 23 = foay , z 3l = — acay , g n = 0 , é 14 = , £ 2 4 = bepy , £ 34 = 0. 

 Di qui si vede subito che le generatrici stesse appartengono ad un fascio 

 di complessi lineari la cui equazione si può scrivere 



5) mz 12 -f- nks 3i — 0 , 



dove k è costante arbitraria : appartengono, cioè, alla congruenza lineare 

 avente per direttrici distinte le due rette m pla ed n pla della £>, rappresen- 

 tate dai complessi speciali s 12 = 0 , s 3i = 0 . 



« Nel complesso 5) sia x, punto della superficie, il polo ; le coordi- 

 nate Vi del piano polare v saranno, per le 2), 



6) Vi : v 2 : v 3 : v 4 = mbc : — mac : nkl 3 py : — nkl 3 ay . 

 Identificando, per applicare il teorema di Lie, le v% con le u\ , si hanno delle 

 relazioni che si riducono all'unica 



7) k(a§)ynj — (ab) c 2 = Q . 



Questa è l'equazione dell' immagine del fascio di assintotiche data dal prof. Cre- 

 mona : A* è la costante d' integrazione, ed è dunque, per la 5), proporzionale 

 al parametro del fascio di complessi. 



« Se la retta x 3 = x^ — - 0 va all'oo sul piano x 3 = 0 e sul piano al- 

 l' oo ^4 = 0, e se scriviamo x,„y, s, 1 invece di x x , x 2 , x 3 , x± ecc., la 5) 

 diviene 



m (xij — x'y) -f- nk (s — /) — 0 



