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tangenti uscenti dal punto multiplo a toccare altrove la curva. L'ordine v 

 della trasformata della 7 1 ) sarà infatti 



v' =r. v (v — 1) — (v — 2) 2 — 2 (m — 1) — 2 — p = Sr — 2m — 4 —p 



. ----- Sp ~ 9 — p — 3 — 4 —p —p -h 2 . 



L' immagine di una sezione piana di <P fatta col piano u è, nell' ipotesi 

 attuale, 



{ih a x m + ih bx m ) c x ^-X 3 (u 3 ax m + u 4 px m ) = 0 , 

 cioè una curva d'ordine fi — m-4- 1 , col punto semplice ex — 0 , /t 3 = 0 

 e col punto m pl ° 0. Onde l'ordine fi' della curva trasformata con la rete 

 suddetta è 



fi' = ix (v — 1) — m (v — 2) — 1 , 

 e pei valori di fi — m + 1 , v =- 2m , 



fi - 3m — 2 



maggiore di m + 1. Infatti la differenza 3m — 2 — (mH-l) =2m — 3 è 

 positiva, perchè, escludendo il caso delle quadriche (m — 1), m ha almeno 

 il valore 2 (superficie del 4° ordine rigata con due direttrici doppie ed una 

 generatrice doppia). 



« Riprendo l'equazione generale 7), che scriverò per brevità così 

 9) yV-V = 0; 



avendo posto 



<P = <fx" 2 = k(a t S) y\ xp = i/V = (ab) c 2 

 e v, come prima, è eguale a 2u — 2 . 



n Si faccia corrispondere al punto A (2 X /L 2 3 ) il punto A' (X\ X' 2 X' 3 ) 

 coniugato armonico di X rispetto alla coppia comune (fuori di 0) alla curva 9) 

 ed alla retta (M : si ottiene così una trasformazione involutoria di Jonquiè- 

 res (!) della quale è curva unita la 9). 



« Si trova facilmente che tra le coordinate /; e passano le relazioni" 

 (dirette ed inverse) 



qX\ — (p X x X 3 , qX' 2 = (f X 2 X 3 , qX' 3 = xp 



10) 



q'X x = (f'X\X' s , q'X 2 — (p X\l\ , q'X z - xp' 



dove (>, (»' sono fattori di proporzionalità, e le (j>', xp' sono le forme cp, xp 

 scritte col parametro 2/ : /' 2 . 

 « Alle rette 



«i + a 2 X\ ~+- a 3 X' 3 = 0 



corrispondono le curve della rete 



(a,. X x -h a 2 X 2 ) (fX 3 + a 3 xl> = 0 

 d'ordine v col punto ()■ — l)? 10 0, aventi a comune nel punto Or — 1 



f 1 ) Bertini, Sopra una classe di trasformazioni univoche involutorie. Annali di ma- 

 tematica serie 2 a , tomo Vili, 1877. 



