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tangenti cp = (a§) y 2 = 0 , 2 (n — 1) delle quali sono le (ap) = 0, e le ri- 

 manenti 2 (p — n — 1) date dall' equazione y 2 = 0 toccano i rami del punto 

 multiplo a due a due, riducendosi quelle tangenti a p — n — 1 distinte for- 

 nite dall'equazione y = 0. Inoltre poi le curve della rete passano per i 

 2 (m — 1) punti fìssi comuni al lato A 3 == 0 ed alle rette (ab) — 0 , e toc- 

 cano la retta A 3 = 0 nei p — m punti nei quali essa è tagliata dalle rette 

 e — 0 . Le curve della rete hanno dunque a comune, oltre al punto (r — iy i ° 0, 

 altri 



2 ( n — 1 ) + 2 ( / ( — 1 i — 1 ) -h 2 ( rò — 1 ) -b 2 ( ,« — m ) = 4p — 6 = 2 ( i ■ — 1 ) 



punti semplici fissi, come è proprio d'una trasformazione di Jonquières. 

 « Ora io dico che : 



« La trasformazione 10) riduce al minimo l'ordine delle 

 funzioni rappresentative dei piani tangenti di <P , cioè a 

 p (— m , ovvero — m -h 1) . 



« Per dimostrar questo si ricordi intanto che nelle espressioni 3) l'or- 

 dine delle uì è p ' = m-h n-h p — 2 . Il cono circoscritto a <P dal punto 

 P (P1P2P3P4) dello spazio è rappresentato dalla curva 



1 1) m (a/i) A 3 y (p 1 b — p. 2 a) -h n (ab) c (p 3 p — p 4 a) — 0 , 



d'ordine /.t', col punto (p' — l)^ i0 0, passante per i punti fìssi A 3 = 0 , 

 (ab) c = 0 al numero di 



2(m — 1 ) — l — — m = m~h p — 2 = p' — n , 



ed avente in 0 per tangenti fisse le rette (ufi) y — 0 al numero di 



2 (n — 1 ) -f- p — n — 1 — n -4- p — 3 ==- p' — m — 1 . 



« Di qui poi segue che due curve variabili del sistema lineare 11) si 

 segano in 



p' 2 — (p' — l) 2 — (p' — n) — (p' — m — 1) == m + n === N 

 punti variabili, come dev' essere. 



a Adoperando ora la rete trasformatrice 10) si hanno per le traformate 

 delle curve del sistema 11) curve appunto d'ordine 



v'= vp' — (j- — 1) (p' — 1) — (a' — n) — (p' — m — 1) = v — p'-\-n-i~m 

 = v — (p — 2) = 2p — 2 — (/( — 2) = p . 



« Effettuando la trasformazione dei secondi membri delle 3) per mezzo 

 delle 10) si hanno facilmente le 



12) ih '• u 2 : u 3 : Ui = mb'c' : — ma'c r : nkl' 3 y' : — nkl' 3 cc'y' . 



« I secondi membri di queste equazioni sono quelli delle 6) scritti con 

 le coordinate del punto l' : in altri termini le 12) danno le coordinate U\ 

 del piano u del complesso 5), polare del polo X' appartenente alla Q>. La 

 trasformazione conduce dunque alle relazioni 



13) A s (ap) by : A 3 («/?) ay : (ab) §c : (ab) ac = Ve'- : de' : kl'^'y' : kX' 3 a'y'. 



