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« Noi faremo corrispondere al punto di (P 

 2) Xi : x 2 : x 3 :x± — ac : bc : X 3 «y : hfty 



di parametri (X x l 2 A 3 ) il piano tangente della stessa <t> 

 6) : v 2 '■ v 3 '■ Vi = mbc : — mac : nkX 3 $y : — nkX 3 ay , 



polo e piano polare del complesso 5) , appartenenti ad una stessa generatrice 

 Aj-Ag e corrispondenti ad uno stesso punto del piano rappresentativo, al punto 



« E come le 3) furon dedotte dalle 2), così possiam dire che le coor- 

 dinate ìf i del punto di contatto y del piano tangente 6) sono date dalle 



14) yi'-ih'-yz'-Ui — kl 3 {a§) ay:kX 3 {a^)by.(ab)ac:{ab)§c . 



« Ma se chiamiamo l' il punto del piano rappresentativo corrispondente 

 al punto y di # dobbiamo avere analogamente a 2) 



15) y x \y t \ y 3 : y* = de' : Ve' : l\ a / : X'rfy'. 



« Adunque h e l'i devono esser legate da tali relazioni, che dai secondi 

 membri delle 14) si passi ai secondi membri delle 15), o in modo che, per 

 dirla con altre parole, restino verificate le 13): e ciò appunto accade in forza 

 delle relazioni 10). 



« Dal fin qui detto si conclude per la superficie <t> quello che Clebsch 

 stabilì nella Memoria citata del voi. V de' Math. Annalen per la superficie 

 gobba del 3° ordine con due direttrici distinte : 



« Un' assintotica arbitraria della superficie è tagliata in 

 due punti A A' da ogni generatrice. Facendo corrispondere ad 

 un punto qualsigoglia L di una generatrice il punto L' coniu- 

 gato armonico di L rispetto alla coppia AA', il punto l rap- 

 presentativo di L sarà anche il punto rappresentativo del 

 piano tangente nel punto I/. 



«Le 2) e 6) danno le coordinate del punto e del piano 

 tangente che si corrispondono in tal modo. 



« E si può aggiungere che: 



« Infine le 10) stabiliscono nel piano rappresentativo 

 una trasformazione involuto ria di Jonquières avente per 

 curva unita l'immagine dell' assintotica considerata. E per 

 ogni assintotica si ha una trasformazione; onde variando k 

 si hanno oo 1 trasformazioni. A queste oo 1 trasformazioni del 

 piano rappresentativo corrispondono nello spazio le oo 1 tra- 

 sformazioni della superficie <P in sè stessa, per le quali le 

 assintotiche non mutano (*) ». 



(!) Ai citati lavori riguardanti le assintotiche delle superficie è da aggiungere l'im- 

 portante Memoria di Lie e Klein : Ueber dienigen ebenen Curven, welche durch eìn ge- 

 schlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Trasformatio- 

 nen in sich ùbergehen (Math. Ann. Bd. IV, 1871), dove nell'ultimo § si fa menzione 

 appunto di quelle superficie le cui assintotiche si determinano per quadrature. 



