u Le coordinate ut del piano tangente nel punto A sono 

 4) Ui:u2'u 3 :Ui = (a — b)ì)-[-X z bc(f^ : (a—b)i — X 3 ac(p£: — bc 2 £:ac 2 £, 

 dov' è posto (col Cremona) 



dei 



n% - {ab) = a x b 2 — a z b x , a* — — =- ecc. 



Mi 



(m-hn—l)rj = [beli Yz — [be']* Yi 



5) 



(m~hn — 1) £ = — [<z<?]i y 2 + [«c] 2 n 

 [bc]i r= bi c-h bei 



« La relazione u x — 0 poi si traduce nell'altra degna di esser notata 

 e facilmente verificabile direttamente 



6) ari 4- K + = 0 . 



Poiché a — b — 2A 2 /? e c — (3% -, § sarà un fattor comune alle , onde 

 queste sono di ordine <i' = 2N — 3 in A^A^). 



« Si osservi intanto, ciò eh' è essenziale, che le immagini delle sezioni 

 di *P fatte con piani n (tt 1 n 2 jt 3 7r 4 ) ed aventi per equazione 



7) 7t 1 ac -h 7r 2 bc --f- (tt 3 -j- 7r 4 ) y + A 3 cp (n z a-h tt 4 b) = 0 



sono curve d'ordine ,« = m -+■ n — 1 = = N — 1 , che oltre ad avere il punto 



0 (Ai = A 2 = 0) multiplo secondo /< — 1 con le m — 2 tangenti fisse </> = 0, 

 hanno in comune fuori di esso altri n — 1 punti fondamentali semplici. 

 Questi punti si trovano così. Nella 7) al binomio n z a -+- tt 4 b si sostituisca, 

 tenendo conto delle 3), l'espressione 



(tt 3 -+- 7T 4 ) Ai a -4- (tt 3 — 7T 4 ) A 2 (3 , 



e si guardi che c = (3%: allora 7) diviene 



8) rt\ a{3% H- 7r 2 è/?x + (^3 — ^4) A 2 1 3 <p(3 -+- (/r 3 -)- 7r 4 ) (y -J- A : A 3 epa) = 0. 

 Dalla forma della 8) si vede che le curve da essa rappresentate passano per 



1 punti comuni alle n — 1 rette (3 = 0 condotte per 0 ed alla curva 



y-\-X l A 3 (f a = X x (A 2 ip + A 3 (pa) = 0 (per le 3) , 

 e, cioè, alla curva 



A 2 ^ + A 3 tpa = 0 (')• 

 Or questa curva dell'ordine N — 2 col punto (N — B) pl ° 0 è incontrata in 

 un sol punto da ciascuna delle n — 1 rette (3 = 0, escluso 0; e si hanno 

 così gli a — 1 punti fondamentali semplici. Di qui segue che due curve del 

 sistema 7) 0 8) si segano in 



l*? — (,« — 1 ) 2 — (m — 2) — (n — 1 ) = 2,(t — (m + n) H- 2 = m -h n= N 

 punti variabili, come dev' essere. 



« Le coordinate-raggi £y = Xi ijj — Xj tji di una generatrice sono i deter- 

 minanti tratti dalla matrice 



ac bc y Y 

 0 0 ay> b(p 



(!) Questa curva è l' immagine della sezione col piano x 3 -j- Xi = 0 , esclusa la retta 

 V= 0 rappresentante una generatrice. 



