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e cioè 



9) s 2 3—abc(p, #31== — a 2 C(p, z 12 —0, Zn—abccp , s 2i ~b 2 C(p, z Zi —(b — a)yy>. 

 Queste rette appartengono al fascio di complessi 



10) z 14l — # 23 ~h kz l2 = 0 



ossia alla congruenza lineare speciale avente per unica direttrice la retta 



X\ =^2 = 0 (#12 = 0) . 



« Nel complesso 10) le coordinate Vi del piano v polare del punto y sono 



11) v ì =—y i — ky 2 , v 2 = y 3 -h kt/i , v 3 = — ijì , v i = y l . 

 Se y coincide col punto x della *P si ottiene, per le 1), 



12) v x — — y — kbc — hb(f>, v 2 = y-+-kac-\-X 3 a(f> , v 3 = — bc , v 3 = ae. 



Identificando, per applicare il teorema di Lie, le Vi con le ui (equazioni 4)) si ha 



■ — y — kbc — A 3 b<p y -h kac -+- X 3 ay 1 

 (a — b) r. -f- X 3 bc(ft {a — b) £ — A 3 acyì cì 



paragonando i primi due rapporti tra loro e poi ciascuno di essi con l'ultimo 

 si hanno le relazioni : 



K .== (a — b) | — cyyìh + y (rj + £) + {wq + bt) (h <p-±- kc)ì = 0, 



L == eyì -h 2acy%X 3 — (a — è) £ -f- Aw 2 £ = 0 , 

 M= cy£ + 2*csp^ 3 H- (« _ i) 17 4- Aéc 2 1 = 0, 



che devono ridursi ad un'unica distinta. Ed infatti essendo per la 6) a^-hb^ 

 = — cy% , l'espressione K acquista il fattore y ; onde si scriverà intanto 



fj K \ = i2 = 2ffg£A, — (r; -I- t) + Ac 8 £ == 0 . 



(b — a) y ■ 



Poi dalle espressioni di L e di M segue 



L — M = (a — b) | 2^3 — (rj + f) + kc 2 $ì = (a — b) fi 

 cM — bL = (a — b) (arj + b£ H- cy£) = 0 , 



e di qui 



± = ^ = St. 



a b 



Adunque le tre K — 0 , L = 0 , M = 0 si riducono all'unica Si — 0 . Ed 

 anche questa può semplificarsi. Perchè facilmente si prova che 



^ + £ = 2/? 2 (r/2 — XYt) + 4^ 2 yj< ; 



e poiché c = fix , sostituendo in i2, questa diviene divisibile per 2/?, e si ha 



13) ^ = <p X Uz + /? (m - Y7a) — 2y/& ~h }W f ■= 0 , 



eh' è l'equazione del prof. Cremona. 



« La 13) rappresenta il fascio delle assintotiche : essa è dell' ordine 

 v = 2m-j-n — 3 col punto (y — l) ?i0 0 e, però, di genere zero. 



