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Matematica. — Un teorema sulle frazioni continue. Nota del 

 Corrispondente S. Pincherle. 



« Scopo della presente Nota è di esporre un metodo che permette di 

 esprimere il valore di una frazione continua 



ai 



Cj a 2 



7 i Ci a% 

 b 2 -j- 



b 3 % 



mediante il rapporto di due integrali definiti, quando le a n , b n , c n sono poli- 

 nomi razionali interi e dello stesso grado rispetto al numero d'ordine n. 



« 1. Verrà indicata col simbolo J l'espressione differenziale lineare 



dove a m è essenzialmente diverso da zero. L'equazione 



(1) J(p = 0 



ammette come singolarità i punti / = 0 , t = oo ed inoltre le radici a A , a 2 

 dell'equazione 



(2) a m f -f b m t — c, n = 0 ; 



per evitare una digressione escluderò, in questa breve Nota, il caso speciale 

 in cui è |«i| = |« 2 |, supponendo >• |« 2 1 > ed il caso, pure speciale, in cui 

 le equazioni determinanti relative ai punti singolari t = a ì , t = a 2 hanno 

 tutte le loro radici intere. Sia dunque q x la radice non intera dell'equazione 

 determinante relativa al punto « l5 e q x Y integrale particolare della (1) che, 

 secondo il senso adottato dal Fuchs, appartiene all'esponente q x nell'intorno 

 del punto a x ; g 2 e tp g abbiano lo stesso significato relativamente al punto a 2 . 



« 2. Non si potrà generalmente soddisfare all'equazione omogenea (1) 

 mediante uno sviluppo in serie di potenze intere e positive della variabile t: 



(3) cp (t) = p,, tv- + t^ 1 + p^ t^ 4- , 



ma invece si potrà soddisfare mediante un tale sviluppo all'equazione non 

 omogenea : 



(4) j< f = t i>-(et + f) 



dove e ed / sono costanti qualunque. I coefficienti p n saranno allora legati 

 dall'equazione ricorrente a tre termini, valida da n = ,« ad n = oo : 



(5) c (n)p n+2 = b (n)p n+l -f- a (n)p n , 



