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dove si e posto : 



a(n) = a m n (n — 1 )..(« — m-\-l)-\-a m - Y n(n — l)..(n — m-\-2)-\ \-a.i)i-\- <z 0 , 



e(n) = c m (n-f-2) (n+l)..(n—m+S) + c m - ì (n+2)(n+l)...(n—m+4:)-\-- 



+ Ci(n-f-2) + « 0 ; 



essi coefficienti sono determinati dalla (5) in funzione delle costanti e ed /*. 

 mediante le relazioni iniziali 



(6) 



c(,u — 2)^ y . = — f . 



c (li — 1 ) TV 1 — & (/Ó Pi'- — ~ e 



Essi si possono ancora determinare in funzione dei valori arbitrari p ;J .-i, 

 Pu.- 2 , ammettendo la (5) valida anche per n — /< — 1 , n •== ,« — 2 ; queste 

 arbitrarie sono legate alle e, f dalle relazioni : 



(7) 



f * [fi — 2)pu.-i -f « — 2)p ? .-, = — f, 

 \ a (,k — 1) p,j.-i = — e. 



« Lo sviluppo (3) è convergente entro un cerchio di centro t = 0 e di 

 raggio uguale ad |a 2 | ed eccezionalmente ad \cc\\, come risulta dai principi 



generali della teoria delle equazioni lineari; è noto anzi che è lini -^-==a 8 , 



ed eccezionalmente = «i . 



« 3. In seguito all' ipotesi che a m è diverso da zero, qualunque inte- 

 grale dell'equazione (1) avrà per t = co un ordine d' infinito positivo, nullo 

 o negativo, ma finito. Perciò si potrà sempre determinare un numero intero fi 

 tale che per ogni integrale cp (t) dell'equazione (1), il prodotto y (t) t 2 ~'> J - sia 

 nullo per t = <x> . 



« Descriviamo ora una linea l x che partendo dall' infinito secondo la dire- 

 zione che dall'origine va al punto a x , circondi questo punto a x e torni poi al- 

 l'infinito secondo la stessa direzione; consideriamo poi l'espressione 



(8) = 



((pi (s) ds 



« Quest' integrale ha un significate per ogni t non posto sulla linea 

 d' integrazione ; esso è sviluppabile in serie di potenze di t della forma (3) 

 convergente entro un cerchio di centro t = 0 e di raggio inferiore ad | «rj | per 

 tanto poco quanto si vuole, i cui coefficienti sono dati da 



infine, si verifica con un calcolo semplice che l' integrale \p x (t) soddisfa ad 



