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un'equazione della forma (4), nella quale le <?, / sono date dalle (6), od anche 

 dalle (7) nelle quali sia posto 



( (f (s) ds l <f (s) ds 



Udo <~J do 



Da ciò, e dall'osservazione fatta alla fine del § 2 risulta che lo sviluppo 

 ip (/) = 2p n t n converge entro il cerchio di centro t—0 e di raggio |«i|, ed anzi 



si ha lim = a 1 . 



Pn+Ì 



k Si noti che qualora fosse q x > — 1 , alla linea /j si potrebbe sosti- 

 tuire, in ciò che precede, il prolungamento da a 1 fino all' infinito del raggio 

 che da 0 va ad a x . 



« 4. Le stesse considerazioni si possono ripetere relativamente al punto 

 « 2 ; si può cioè descrivere una linea l z che provenendo dall' infinito nella 

 direzione della congiungente dei punti t — 0 , t = a z , circondi il punto « 2 

 e torni all' infinito secondo la stessa direzione, senza includere il punto a l . 

 Si forma poi 



i «s ' la 1 1 n=a 



le stesse considerazioni del § precedente permettono di concludere che 



«= 00 p n-+l 



quest' espressione soddisfa ad un' equazione della forma (4), e che lim ^ n =a. : 



Da ciò segue che il rapporto p n 'p'n tende a zero per n = oo 



« 5. Eiprendiamo ora l'equazione ricorrente (o alle differenze) 



(5) c (n) F{» + 2) = 5 (a) F (n + 1) + « (n) F (n) . 



« Di questa equazione abbiamo con p„ e p' n due integrali linearmente 



indipendenti, per cui ogni altro integrale avrà la forma 



F (n) = hp n + h'p' n , 



e per ogni coppia di valori di h, h', escluso il valore zero per h', si avrà 



(10) !,L»ì%) = 0 - 



« In particolare determiniamo due integrali P„ e P'„ della (5) mediante 

 le condizioni iniziali 



Py.— 2 == 1 i Py.— 1 = 0 , 



P [J.—2 == 0 , P a— 1~ 1 , 



i quali saranno linearmente indipendenti ; si potrà quindi porre 



(11) p n = k¥ n -\-k'Y n 

 con 



) Jdo 



\ k'—p^ = (/! (s)s-i J -ds , 



U do 



