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6. Consideriamo ora la frazione continua 



«(/* — 2) 

 _ c(fi — 2) 



a (fi — 1) 

 b( f i — 2) 1) 



c (;« — 2) ^ M/t — 1) , 

 c(iU _l } -i 



i numeratori delle sue ridotte sono due integrali dell'equazione (5) i quali, 

 come è facile verificare, coincidono rispettivamente con P„ e P'„. 



« Onde segue che il valore della frazione continua o coincide col limite 

 P„ 



(se esiste) di ~ per n = ào . E questo limite esiste non solo, ma è di sem- 



" n 



plicissima determinazione perchè dalla (11) risulta 



-t n -T n 



e passando al limite, tenuto conto della (10), viene 



t Pn k 



ponendo per k e li i loro valori, e facendo sulla e una evidente trasformazione, 

 viene infine la forinola : 



tl „ .L**)*** 



Hfl - 2) + "("- 1)c(f '- 2) l f 



t/ -i \ | . a(,jtt)g(ft — 1) J(fti 



« Tale è la forinola che volevamo stabilire. Essa permette di espri- 

 mere il valore di una frazione continua, le cui frazioni par- 



• t j n * — l)«(rc) -, , , . 



zia li sono della forma — — -— dove a, b, c sono polinomi 



b(n) 



interi dello stesso grado n, mediante il quoziente di due in- 

 tegrali definiti; e si è visto il modo di determinare la fun- 

 zione <f 1 sotto il segno ed il cammino d'integrazione. 



« Inversamente la formola (12) permette il calcolo del 

 quoziente dei due integrali definiti per mezzo dello svi- 

 luppo in frazione continua, coli' approssimazione di cui è 

 suscettibile questo genere di sviluppo. 



« Le note formole di Gauss, che danno lo sviluppo in frazione continua 

 del quoziente di due funzioni ipergeometriche, sono contenute come caso par- 

 ticolare nella formola (12) ». 



Rendiconti. 1891, Vol. VII, 1° Sem. 78 



