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Matematica. — Di una certa congruenza del terzo ordine e 

 della sesta classe dello spazio ordinano. Nota del prof. Giovanni 

 Bordiga, presentata dal Corrispondente Veronese. 



« 1. Si sa (') che in uno spazio lineare a quattro dimensioni, R 4 , le 

 terne di spazi omologhi di tre stelle proiettive si tagliano nei raggi di un 

 complesso Q del primo ordine, tale cioè che per un punto qualunque dello 

 spazio R 4 passa, in generale, un solo raggio di fi . Su ogni raggio vi sono 

 tre punti singolari ; in ognuno di questi si incontrano tre piani omologhi delle 

 stelle ; perciò essi sono vertici di coni cubici razionali K 2 3 situati su fi . Il 

 luogo dei punti singolari è una superfìcie del sesto ordine, F 2 6 , le cui proprietà 

 sono note ( 2 ). 



« Da queste si deduce facilmente che fi possiede : dieci piani singo- 

 lari 2i (che sono i piani delle cubiche di F 2 6 ), tali che ogni loro retta è 

 un raggio del complesso ( 3 ) e 45 fasci di raggi situati sui piani delle 

 45 coniche di F 2 6 . Gioverà ancora notare, perchè chiarirà il nostro ragiona- 

 mento successivo, che : i raggi di fi situati in uno spazio ordinario formano, 

 in generale, una rigata dell'ottavo ordine con curva tripla del sesto ordine 

 e di genere 3; che ogni retta dello spazio fondamentale R 4 è direttrice di 

 una rigata razionale del primo gruppo e del nono ordine (P 9 ; e che ogni piano 

 è direttore di una congruenza r 9 . 8 del nono ordine e dell'ottava classe. 



« Se ora si fanno corrispondere, ordinatamente, i punti, le rette, i piani 

 di uno spazio ordinario R 3 , agli spazi ordinari, ai piani ed alle rette delle 

 stelle che generano il complesso fi , si avrà in R 3 una rappresentazione pun- 

 teggiata del complesso medesimo. È nello studio di questa rappresentazione 

 che si incontra una certa congruenza del terzo ordine e della sesta classe che 

 non è stata osservata, crediamo, da altri e della quale ci vogliamo occupare 

 in questa Nota. 



« 2. Indicheremo tra le parentesi j ( le figure dello spazio R 3 . Si vedrà 

 subito che : 



ad ogni raggio a di fi corrisponde un punto JA( ; e viceversa ; 

 ad ogni retta )b\ una rigata cubica normale B 3 ; 



(!) Veronese, Math. Ann., Bel. XIX, pag. 232. 



( 2 ) Veronese, 1. c. ; Bordiga, Meni. Acc. Lincei, voi. Ili, serie 4 a , pag. 181. 



( 3 ) Questi dieci piani sono quelli in cui si tagliano dieci terne di spazi omologhi delle 

 stelle. Il teorema generale è il seguente: In uno spazio B n tre stelle proiettive determi- 

 nano, in generale, n ( n ^~ — terne di spazi omologhi ad n — 1 dimensioni i quali si 

 tagliano secondo uno spazio ad n — 2 dimensioni. 



