ad ogni piano \A\ una congruenza A 3 . 6 del terzo ordine e della 

 sesta classe ( ì ). 



« Lo spazio E 3 possiede 10 punti fondamentali immagini dei 10 piani 

 singolari 2 t di Sì . Le rette che congiungono due punti fondamentali sono le 

 immagini dei 45 fasci piani del complesso. 



« Ogni rigata # 8 , formata dai raggi di Sì che si trovano in uno spazio 

 arbitrario M 3 , è rappresentata in R 3 da una curva del sesto ordine |*P 6 { , che 

 passa per i dieci punti fondamentali ( 2 ). 



a Ogni rigata <P 9 ha per immagine una cubica gobba )<i> 3 | ( 3 ). Ogni con- 

 gruenza r 9-g ha per immagine una superfìcie cubica generale che passa per 

 i 10 punti )2\ . 



« Se la direttrice di <P° è un raggio a del complesso, la rigata <X> 9 si 

 risolve in tre coni K 2 3 che hanno quel raggio in comune ; in tal caso l' imma- 

 gine j(P 3 | avrà punto triplo in jAj , cioè si risolverà in tre rette \K\ concor- 

 renti in )A| . Ogni punto di R 3 è l' immagine di un raggio di Sì ; è dunque 

 evidente che le rette \K\ formano una congruenza \Q\ del terso ordine. 



« Se poi si osserva che ogni piano \A\ di R 3 contiene tante rette jKJ 

 quanti coni K 2 3 possiede una congruenza A. 3 . 6 e che questi coni sono sei al 

 più ( 4 ) si conchiuderà che la congruenza \0\ è della sesta classe. 



« 3. Tutti i raggi del complesso Si che escono dai punti di ima 

 retta Q t situata sulla superficie F 2 6 ( 5 ) formano una semplice infinità di 

 coni K 2 3 . Le corrispondenti rette \K\ formeranno una quadrica rigata \q/\ . 

 Infatti si noti che qì incontra tutti i piani singolari 2 , eccettuato 2i ; che 



( 1 ) La genesi della A 3 , 6 , come caso particolare delle congruenze dell'ordine — — 



u 



71 (TI — 1 ì 



e della classe situate in E» , fu già data da noi (1. c. pag. 182). Il dott. Guido 



u 



Castelnuovo (Atti Ist. Veneto 1887-88) ne ha trovate e sviluppate le proprietà principali. 



( 2 ) Infatti M 3 taglia tutti i piani li secondo una retta e contiene sei raggi di una 

 qualunque delle congruenze ^ 3 . 6 . Onde l'immagine J'P' 6 ' dovrà passare una volta per tutti 

 i punti fondamentali ed incontrare non più di sei volte qualsivoglia piano \a\ . 



( 3 ) La direttrice della rigata # 9 incontra tre raggi di qualsivoglia congruenza -.<f 3 . 6 ; 

 quindi l'immagine )* 3 | incontra tre volte qualsivoglia piano \a[ . 



( 4 ) Non si dimentichi che una A 3 . G è generata da tre forme proiettive di seconda specie 

 appartenenti a tre stelle. I piani corrispondenti delle tre forme non concorrono, in generale, 

 in un punto; ma ciò avviene per sei posizioni singolari; per queste i fasci di spazi pro- 

 iettivi sostenuti dai tre piani generano un cono K 2 3 . 



Il teorema generale è : In uno spazio fondamentale E 2ni tre forme proiettive di 



m esima s p ec i e (spazi ad tu dimensioni sostenuti da uno spazio S^_ t , i == 1 . 2 . 3^ 



, , . (w + 1)(to + 2) , . ,. . . 



determinano punti singolari, in ognuno dei quali si incontra una terna 



di spazi omologhi delle forme. 



( 5 ) La superficie F 2 6 ha dieci rette qì . Ogni piano 2" ne taglia nove. 



Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 2 



