onde (vedi § 5) le $ e 2 ìt w che compariscono in F , F x ... ~F g resulteranno 

 entro S„ eguali alle corrispondenti m , . Ma se 



(I) . (t) _ ^ (^t — «t) _ 0 



resulterà 



£t — w t = cost. 



lungo tutte le parallele all'asse x h e siccome queste incontrano il con- 

 torno S n _i , ove s t = u t , così dovremo avere in tutti i punti entro S n , 

 g t = u t , il che dimostra il teorema. 



Matematica. — Sulla definizione dell'area d'una superficie. 

 Nota di G. Peano, presentata dal Socio Casorati. 



« Scopo della presente Nota è l'esame delle varie definizioni date dell'area 

 di una porzione qualunque di superficie (non piana), e di alcune questioni relative. 



« I geometri greci, ragionando sulla lunghezza di linee e sull'area di 

 superficie (sfera, cilindro, ecc.), partivano da postulati invece che da defini- 

 sioni. Però la differenza è solo formale. I postulati enunciati da Archi- 

 mede (') valgono esattamente le seguenti definizioni : 



1) Lunghezza d'un arco curvilineo piano convesso è il valore comune 

 del limite superiore delle lunghezze delle linee poligonali inscritte, e del 

 limite inferiore delle circoscritte. 



2) Area d'una superficie convessa è il valore comune del limite supe- 

 riore delle aree delle superficie poliedriche convesse inscritte s e del limite 

 inferiore delle circoscritte. 



« Egli dimostra per le curve e superficie studiate la coincidenza dei due 

 limiti, la quale si potrebbe anche dimostrare in generale. 



« Ora la prima definizione non vale per le linee non piane. Essa si può 

 rendere applicabile in ogni caso omettendo le linee circoscritte, così : 



3) Lunghezza d'un arco curvilineo è il limite superiore delle lun- 

 ghezze delle linee poligonali inscritte in esso ( 2 ). 



« Ma la seconda definizione, per le aree, non è applicabile alle superficie 

 concavo-convesse, e pare difficile il renderla applicabile in ogni caso. 



« I procedimenti, per determinare la lunghezza d'un arco e l'area d'una 

 superficie, seguiti dai vari matematici fino al principio del corrente secolo, 



(!) Della sfera e del cilindro, libro I, '/.« i u^apó l ueya. 



( 2 ) Questa definizione è più semplice della comune, essendo più semplice il concetto 

 di limite superiore d'un sistema di quantità, che quello di limite verso cui tende una 

 quantità variabile. Da essa si deduce, senz'altro, che ogni arco ha una lunghezza finita 

 o infinita. Già usai tale definizione nelle mie Applicazioni geometriche del calcolo diffe- 

 renziale, pag. 161. Il sig. Jordan nel suo Cours d'Analyse, t. Ili, pag. 594, dimostrò la 

 coincidenza delle due definizioni nei casi più comuni. 



