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erano poco esatti ( ! ). Solo nei trattati di calcolo relativamente recenti si suol 

 definire la lunghezza d'un arco e l'area d'una superficie. Ora, se la prima 

 definizione non presenta difficoltà, la seconda lasciò sempre a desiderare. La 

 definizione data da Serret e riportata da tanti autori, nella quale si consi- 

 dera il limite verso cui tende una superficie poliedrica inscritta, non vale; 

 poiché una tale superficie poliedrica può tendere, dipendentemente dal modo 

 di variare delle sue faccie, verso ogni limite maggiore di quella quantità che 

 da tutti si chiama area della superficie ( 2 ). 



« Il compianto Harnack, nella versione del trattato del Serret ( 3 ), 

 aggiunge la condizione che le faccie della superficie poliedrica siano triangoli 

 i cui angoli non si avvicinino indefinitamente a 0 . Ma nemmeno con questa 

 condizione la definizione risulta soddisfacente, potendosi ancora fare la mede- 

 sima obbiezione. 



« Il sig. Hermite ( 4 ) dice : Nons abandonnerons dotte la sur face polyé- 

 drale, qui est Vanalogue du poligone inserii dans un are de courbe ... , e 

 definisce l'area come il limite d'un sistema di poligoni non contigui, tangenti 

 alla superficie. Questa definizione, del tutto rigorosa, lascia a desiderare in 

 quanto che in essa entrano esplicitamente gli assi di riferimento. 



« Si può ottenere ad un tempo il rigore e l'analogia fra le definizioni 

 relative all'arco e all'area, ove si faccia uso, oltreché del concetto di retta 

 limitata considerata in grandezza e direzione {segmento, vettore), anche del 

 concetto dualitico di area piana considerata in grandezza e giacitura. Questi 

 enti furono introdotti in geometria specialmente per opera di Chelini, Mobius, 

 Bellavitis, Grassmann e Hamilton. Un'area piana così considerata, o meglio 

 la linea suo contorno, si può chiamare bivettore, essendo essa il prodotto, 

 secondo Grassmann, di due vettori ( 5 ). 



(!) Così in Lagrange, Theorie des fonctions analytiques, Paris 1813, pag. 300, il risul- 

 tato è ottenuto per mezzo d'una asserzione non esatta. 



( 2 ) Questa osservazione trovasi pubblicata per la prima volta nelle lezioni da me date 

 all'Università di Torino nell'anno 1881-82 e litografate dagli allievi, a pag. 143, lezione 

 del 22 maggio 1882. La stessa osservazione fu pure fatta dal sig. Schwarz, e da questi 

 comunicata al sig. Hermite, il quale la pubblicò nel suo Cours professe à la factdté des 

 sciences, pendant le second sem. 1882, second tirage, pag. 35, qualche tempo dopo la mia 

 pubblicazione. L'errore principale commesso da Serret sta nel ritenere che il piano passante 

 per tre punti d'una superficie abbia per limite il piano tangente alla medesima, proposi- 

 zione questa evidentemente falsa. 



( 3 ) Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, voi. II, 1885 pag. 295. Dalla 

 condizione imposta dall'Harnack risulta effettivamente che i piani delle faccie tendono 

 verso i piani tangenti. Il difetto sta in ciò che se z — f ' (% ,y) è l'equazione d'una super- 

 ficie, e f{% ,y) è univoca, non ne risulta come conseguenza che ogni superficie poliedrica 

 inscritta non possa essere incontrata da una parallela all'asse delle z in più di un punto. 



(■*) Ib. Troisième édition (1887) pag. 36. 



( b ) Usai il nome di &it>^£or^, -corrispondente a quello di vettore introdotto da 

 Hamilton, nel mio Calcolo geometrico, secondo V Ausdehnungslehre di H. Grassmann (1888). 



Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 8 



