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« Si ha la proposizione : 



4) Data una linea chiusa {non piana) 1 , si può sempre determinare 

 una linea piana chiusa o bivettore V, in guisa che, proiettando le due linee 

 1 e T su d'un piano arbitrario, con raggi paralleli di direzione arbitraria, 

 le aree limitate dalle loro proiezioni risultino sempre eguali. 



« Questa proposizione è conseguenza immediata della somma, o compo- ' 

 sizione, dei bivettori, quando la linea l è poligonale. Il solito passaggio al 

 limite permette di dimostrarla quando la l è una linea curva, descritta da 

 un punto avente sempre derivata finita, ed anche in altri casi. Le aree si deb- 

 bono considerare tenendo il debito conto dei segni. 



« In virtù della proposizione 4), potremo chiamare bivettore ogni linea 

 chiusa, piana o no ; due bivettori l ed l' che soddisfino alle condizioni della 

 proposizione 4) si dicono eguali, o equipollenti. Per grandezza e giacitura 

 d'un bivettore non piano l , si intende la grandezza e la giacitura del bivet- 

 tore piano equipollente l' ( 1 ). 



« È chiaro che : 



5) Se si proietta ortogonalmente la linea chiusa {non piana) 1 su 

 d'un piano variabile, il massimo dell'area limitata dalla proiezione di 1 

 vale la grandezza del bivettore 1 ; e questo massimo avviene quando il piano 

 su cui si proietta ha la giacitura di 1 . 



« Se ora si intende per vettore d'un arco di curva il vettore limitat 

 dagli estremi dell'arco, cioè la sua corda considerata come vettore, la defini- 

 zione 3) si può pure enunciare : 



6) Lunghezza d'un arco di curva è il limite superiore della somma 

 delle grandezze dei vettori delle sue parti. 



« Analogamente se si intende per bivettore d'una porzione di superficie 

 il bivettore formato dal contorno di essa, si può assumere per definizione : 



7) Area d'una porzione di superficie è il limile superiore della 

 somma delle grandezze dei bivettori delle sue parti ( 2 ). 



« Fra il vettore d'un arco di curva, e il bivettore d'una porzione di super- 

 ficie passa una analogia completa. Così alla proposizione che, sotto certe 

 condizioni, 



8) La direzione del vettore d'un arco infinitesimo di curva è quella 

 della tangente; e il rapporto fra la sua grandezza e la lunghezza dell'arco 

 è l'unità, 



(!) La proposizione 4) è di utilità in molte questioni di' geometria. Si consideri 

 p. e. una spira d'un'elica, i raggi che vanno ai suoi estremi, e la porzione compresa, di 

 asse; si ha così una linea chiusa, e si riconosce facilmente che essa è equipollente alla 

 circonferenza hase del cilindro su cui sta l'elica: quindi proiettando su piani con raggi 

 paralleli le due linee, si deducono le aree di varie curve piane. 



( 2 ) Questa definizione, qualora si sostituisca al posto di grandezza d'un bivettore il 

 suo significato, si trasforma in quella da me data nelle Applicazioni geometriche, pag 164. 



