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Dal punto di vista delle proprietà proiettive, due corrispondenze involutorie, 

 collineari o polari, della stessa specie, sono sempre identiche, cioè si possono 

 sempre con altre corrispondenze, omografiche o correlative, scambiare luna 

 nell'altra; ben inteso che, supponendo reali le corrispondenze date, perchè 

 siano reali le trasformazioni che scambiano l'una nell'altra occorre che, se 



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si tratta di omografie, quelle di specie — - — (n dispari) siano dotate 



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entrambe di spazi fondamentali reali (per le omografie delle altre specie 

 questa restrizione non è necessaria perchè i loro spazi fondamentali sono 

 sempre reali) o entrambe ne siano prive e se si tratta di corrispondenze 

 polari rispetto a varietà quadratiche che queste siano entrambe reali o 

 entrambe manchino nelle corrispondenze. 



« Per dimostrare questo asserto, e quindi concludere che le diverse specie 

 di corrispondenze lineari con cui avremo a fare nell'S n sono in numero 



di n ~j~ ^ o n ~j~ ^ secondochè n è pari o dispari, cominciamo dal caso più 



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semplice in cui siano date due omografie involutorie della stessa specie h , 

 i cui spazi fondamentali siano A h , B^_ ft _i per la prima ed A' h , B'^-! per 

 la seconda. In A h ed A.' h si prendano rispettivamente due gruppi di h -(- 1 

 punti A 0 «\ ... , A 0 (7l+1) ; A/ (1 \ ... , A 0 ' c ' i+1) ed in B M _^_i , BV-a-i rispettiva- 



mento di un punto M passa per un punto N , 1' S»-i normale alla direzione dello spo- 

 stamento di N passa per M . 



S' incontra poi anche la stessa idea, sviluppata più di proposito, nella classica Memoria 

 del Clifford: On the classification of Loci (nei Philosophical Transactions dell'an. 1878, 

 ed anche nei Mathematical Papers), in cui l'autore dimostra che, considerando una curva 

 razionale normale in S n , se 11 è dispari, un punto qualunque di S» sta sempre in uno 

 stesso S»-i cogli n punti di contatto degli ^-osculanti S m -, che per quel punto possono con- 

 dursi alla curva ; e viceversa. Sicché facendo corrispondere a quel punto queir S re — i si ha 

 precisamente un sistema nullo. 



Posteriormente i sistemi nulli li incontrò anche il Segre nella Memoria: Ricerche 

 sulle omografie e correlazioni in generale ecc. (Mem. della R. Acc. di Torino, serie 2 H , 

 voi. XXXII) col congiungere un punto dello spazio all' S w - 2 comune ai due S w _i che cor- 

 rispondono al punto in una data correlazione e nella sua inversa, e col fare corrispondere 

 a quel punto queir S ra _i congiungente: e dualmente. 



Finalmente i sistemi nulli li hanno considerati anche: Aschieri nella Nota: Le cor- 

 rispondenze lineari ecc. (Rend. Ist. Lomb. an. 1886) nella quale ha indicato anche il modo 

 di degenerare di quei sistemi; Cassani nella Nota: Un teorema generale sulle linee nor- 

 mali degli spazii dispari (Rend. della R. Acc. dei Lincei, an. 1886) e Loria in una Nota 

 nel Giornale di Napoli dell'ami. 1888; questi ultimi due arrivando però agli stessi risul- 

 tati del Clifford, il primo usando di un procedimento già indicato da Cremona e da Bel- 

 trami a proposito della cubica gobba, ed il secondo servendosi della rappresent. parametrica 

 dei punti di una curva razionale dedotta dalla genesi di questa con forme proiettive. 



Niuno però dei precitati autori ha svolto a proposito dei sistemi nulli, le considerazioni 

 svolte nella presente Nota, e che crediamo interessanti per la geometria di quei sistemi. 



(!) Nel n. 2 io mostrerò l'esistenza di corrispondenze collineari senza spazi fonda- 

 mentali reali. 



