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mente due gruppi di altri n—h punti B 0 (1> , ... , B 0 ( "- /l) ; B 0 ' a \ ... , B 0 ' (n - /l) . 

 Si prendano in fine due punti arbitrari M , M' dei quali il primo non stia 

 nè su A 7i nè su B„_ 7ì , ed il secondo non stia nè su A' 7i nè su B'„_ 7i . 

 L'omografia 



= A 0 C1) A 0 (2) Ao^ 1 » B 0 (1 > B 0 (2) B 0 ( -"> M 

 A' 0 a> AV 2> "" AV^"^» 11 ' B' 0 c2) '"BV^M' 

 è perfettamente individuata dalle n-\-2 date coppie di punti corrispondenti. 

 Questa fa intanto corrispondere alla involuzione (A 7ì , Bn-h-x) un'altra invo- 

 luzione che ha a comune colla (A'^ , B' n _ 7l _]) gli spazi fondamentali, ma due 

 involuzioni che hanno a comune gli spazi fondamentali coincidono, dunque Sì 

 muta (A 7i , Bn-h-i) in (A' 7i , B r „_ M ) . 



« Suppongasi ora che si tratti di corrispondenze polari rispetto a due 

 varietà quadratiche S 2 „_i , S' 2 „_i , e supposto che il teorema sia vero per va- 

 rietà quadratiche a n — 2 dimensioni (sempre contenute, come si sa, in 

 degli S„-i) si prendano due S„_! qualunque A n _!, A',,-!, secanti S 2 ^_i ed S' 2 „_i 

 rispettivamente nelle varietà quadratiche, non specializzate, ad n — 2 dimen- 

 sioni S 2 „_ 2 , S\_ 2 . Si dica 2 un'omografia fra A„_! ed A',,-! che cangia 

 l'una nell'altra queste due quadriche, e, preso un Si qualunque A! , reciproco 

 ad A,,-! rispetto ad S 2 ,,-! , si prenda anche queir Si reciproco di A' n _i 

 rispetto ad S' 2 n _! che passa pel punto B' corrispondente del punto B=Ai.A n _! 

 in 2, e dicasi A\. Si ponga poi A^SV^So 0 ', S 0 (2) ; A^.SVi^SY», SV 2 \ 

 e presi in A„_! n punti arbitrari B x , B 2 , ... , B n i quali non siano in uno 

 stesso S„_! nè siano in uno stesso S n _! n — 1 di essi con B , si dicano 

 B'i , B' 2 , ... , B'„ i loro corrispondenti in 2 . Allora l'omografia 

 o = B 1 B 2 B n S 0 <» S 0 (2) /B\ 



~ B' 1 B' 8 ""B' n SV 1) SV 2 ' \B7 



B S 00 



completamente individuata dalle n-\-2 coppie (i=l ,2,...,n) ° (k=l ,2) 



B i o o 



di elementi corrispondenti, farà corrispondere al punto B il punto B', sicché 



conterrà l'omografia 2; e quindi farà corrispondere fra loro anche S 2 „_8, S' 2 ,j_ 2 . 



Ma Sì muta anche A! . S 2 „_! in A'i . S' 2 ,,-! : dunque Sì muterà anche S 2 n _! 



in S' 2 „_! ( 1 ). E perciò, il teorema, essendo vero per due Si 2 , è vero in generale. 



« Finalmente trattisi di due sistemi nulli. Questi non possono aver luogo, 



n 1 



come è stato avvertito, che per n dispari. Si ponga — - — = m, e si osservi 



anzitutto che in un sistema nullo è sempre possibile, ed in infiniti modi, di 

 prendere in un determinato ordine n-\-2 punti (dei quali n-\-l non siano 

 mai in un S,^) tali che ad ognuno di essi corrisponde 1' S„_! che lo congiunge 

 agli m punti a dritta ed agli m a sinistra. In fatti, dicendo 



O Una varietà quadratica ad n — 1 dimensioni è nel fatto completamente individuata 

 quando si conoscono un ed un S }l _ fe reciproci rispetto alla varietà (cioè tali che S& 

 passi per VSk-i polare dell' S„_ fc ) colle varietà a k — I e ad n — k — 1 dimensioni che 

 qnesti determinano in essa. Nel caso nostro è k = l , ed n — k = n — 1. 



