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«Una (ra-[-2) pla di punti, quale ora è stata considerata, potrà dirsi 

 (n -f- 2)P la polare rispetto al sistema nullo. 



« Ciò pos£o, siano It x , TT 2 due sistemi nulli qualunque ed Ao ((), Ao a) ...A 0 c " +1) 

 una (ra-f-2)P la polare di e B 0 (0) B 0 (n ... B 0 Cra+1) una (n 4- 2)P la polara 

 di 77 2 . L'omografìa 



V»>A 0 a) A 0 ( " +1) 

 — B 0 (0) B 0 (1) "" B 0 (n+1) 

 muterà II l evidentemente in H 2 , poiché muta n 1 in una correlazione che 

 ha con 77 2 (n -f- 2) coppie di elementi corrispondenti comuni. 



« E così il nostro compito di mostrare che due corrispondenze involutorie, 

 collineari o polari, della stessa specie, si equivalgono, in infiniti modi, rispetto 

 ad una trasformazione lineare, è completamente esaurito. Quanto al mostrare 

 che la stessa proprietà accade rispetto ad una correlazione, il lettore si è già 

 accorto che non occorre aggiungere altro al già detto, poiché basterebbe, per 

 cangiare le omografie trovate in correlazioni, di scambiare i punti presi in una 

 delle date corrispondenze in altrettanti S„_! , e viceversa. 



« Si noti però che, colla proposizione dimostrata, si è anche dato il modo 

 di costruire tutte le trasformazioni lineari di due date corrispondenze involu- 

 torie della stessa specie fra loro, ed in particolare le trasformazioni di una 

 data corrispondenza involutoria in sé, poiché per ottenere queste ultime baste- 

 rebbe supporre , secondo i diversi casi, A h = A' h e B„_/j_i = BV-,71-1 , o 

 S 2 n _i = S\_! , o JTj = It 2 . Anzi, quando si tratti di sistemi nulli, la stessa 

 proposizione ci prova pure che un sistema nullo è completamente individuato 

 da una sua (^-f-2) pla polare ('). 



« 2. Passiamo ora ai gruppi completi di 3 corrispondenze involutorie, 

 esclusa la identità. Questi saranno 



a) o gruppi le cui corrispondenze sono tutte e tre collineari ; 



b) o gruppi delle cui corrispondenze due sono polarità rispetto a 

 varietà quadratiche ed una è collineare ; 



c) o gruppi delle cui corrispondenze due sono sistemi nulli ed una 

 è collineare ; 



d) o gruppi delle cui corrispondenze una è polarità rispetto ad una 

 varietà quadratica, una è sistema nullo ed una è collineare ( 2 ). 



(!) Si osservi anche che noi abbiamo, con quanto si è detto sulle varietà quadratiche 

 e sui sistemi nulli, dimostrato geometricamente il teorema analitico che « le forme qua- 

 dratiche e le forme bilineari a coefficienti alternati non hanno invarianti assoluti ». 



( 2 ) Si può osservare che, in generale, quando più corrispondenze involutorie formano 

 un gruppo, fatta eccezione dell'identità, le rimanenti corrispondenze sono in numero dispari, 

 e sono o tutte, collineari, o se fra esse vi sono delle corrispondenze polari queste sono in 

 numero eguale alla metà di tutte aumentate di uno. In fatti, se sono H t , H 2 , ... , H,j. le 

 date corrispondenze saranno anche H t H 2 , H t H 3 , ... , Hj , ... corrispondenze del gruppo; 

 e perciò, potendo supporre queste ultime diverse tutte da H t , H 2 , ... , H^, vi sarà un certo 



