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« Qualunque siano le corrispondenze del gruppo, se queste si indicano 

 con Hj , H 2 , H 3 , dovrà aversi 



Hi H 2 = H 3 , H 2 H 3 = Hi , H 3 H t : H 2 



e quindi anche 



Hi = H 2 Hi H 2 , H 2 = Hi H 2 Hi , H 3 = Hi H 3 Hi , 

 Hi = H 3 Hi H 3 , H 2 = H 3 H 2 H 3 , H 3 = H 2 H 3 H 2 , 

 cioè ogni corrispondenza del gruppo è trasformata in sè stessa da ciascuna 

 delle rimanenti. 



« / gruppi a). Due corrispondenze collineari involutorie 

 Hi • (Aft, , H n -h s -i) i H 2 = (A/ Ìs , B„_/i 2 _i) 

 appartengono ad un gruppo se l'ima muta in sè stesso ciascuno degli spazi 

 fondamentali dell'altra o se li scambia fra loro. Ha luogo il primo caso quando 

 ciascuno degli spazi fondamentali dell'una si appoggia agli spazi fondamen- 

 tali dell'altra in tanti punti (indipendenti) per quanti sono necessari ad indi- 

 viduarlo, ed ha luogo il secondo quando gli spazi fondamentali dell'una sono 

 di egual numero di dimensioni e coniugati nell'altra. 



» Se, p. e., supposto h* < hi < m , A 7i2 si appoggia ad A*, in k punti 

 di un A^i (/c <_ h 2 -f 1) ed a B n _ 7ìl _i in h 2 -f- 1 — k punti di un B /l2 _ ft , 

 e B w _/ i2 _i si appoggia ad A 7il in // punti di un A 7 ,/_i (k' vedremo appresso 

 quali valori può avere) e a B n _ fel _! in n — h 2 — k' punti di un B„_^_ ft r_, , 

 allora H, muterà ciascuno in sè stesso i punti degli spazi A ft _i , B 7i2 _ ft , A R r_! , 

 B n _ /i2 _,/_i , e quindi muterà in sè A 7i2 = A; £ _i.B„_ fti , B n _ 7i _ x = A^.B,,-^ 

 scambiando fra loro i punti di questi spazi che non sono nè su A,.,, nè su B„_ 7 i,-i . 

 In tal caso la corrispondenza involutoria Hi H, = H 3 avrà per spazi fondamen- 

 tali 1' Sn-h^-w-ì congiungente A 7£ _! a B^_v_, e 1" S,, 1+¥ - k congiungente 

 Aft'_i a B 7l2 _ /£ . 



« È da osservarsi che assegnato k fra 1 ed h 2 -f- 1 quando sia h 2 <C hi , 

 e fra 1 ed h 2 quando sia h 2 = hi , k' non' è più arbitrario, giacché, non 

 dovendo k lH , B n _ 7i2 _i avere punti in comune dovranno essere soddisfatte le 

 due condizioni 



(k — 1) + (k' — 1) — ih ='À + k' — (Ai + 2)< 0 

 (h 2 — k)-\-(n — h 2 — k' — 1) — (n — h — 1) = h, — (k -f- k') < 0 

 ovvero 



k + k' < ih + 1 , k + k' > M + 1 

 la prima delle quali dice che A ft _! ed A 7i '_ t non hanno punti in comune e 



valore di p per cui esse sono tutte le corrispondenze rimanenti, cioè per cui p — 1=," — p ■ 

 Ma allora è t u — 2p — 1 , cioè fi è dispari. Inoltre se fra le EU , H 2 , ... , H^ una, p. e. Hi , è po- 

 lare, saranno tali anche i prodotti di esse per quelle che sono collineari, sicché supposto queste 

 essere le H^ , Hi 2 , ... , Hjj le polari saranno Hi e le Hj H^ , Hi Hi 2 , ... , Hi Hìj . Con queste 

 e con le collineari si devono esaurire tutte le corrispondenze del gruppo, dunque si dovrà 



avere 1 — J — Z — 1 — Z = ,t* , cioè Z — | — 1 = - ^ : il che dimostra l'asserto. 



Rendiconti. 1890, Yol. VI, 1° Sem. 



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