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la seconda che dice non avere punti comune B hì - k e B n _ 7( i . Ma quelle 

 due condizioni equivalgono all'unica 



k -f- k' = h x + 1 



dunque dovrà essere 



k' = h + l — k. 



Sicché con le due corrispondenze H x , H 2 sono possibili i soli gruppi (della 

 specie considerata) corrispondenti ai seguenti valori di k e k' (escluso, ben 

 inteso, per n dispari, il caso di h x — h% = m , nel quale, come ora vedremo, 

 un altro gruppo di altra specie è possibile) 



k = 



0 



1 



2 





i 



... | h 



/i2 + l 



l per h, <C hi 

 1 per hi = hi 



fcx-f 1 



hi 



hi — 1 





/li— i+1 





hi—h 2 -\-l 



ih — Hi 



Ai + 1 



Ih 



hi—.l 





h— i+1 





hi—h+1 





E perciò quei gruppi sono in numero h 2 -f- 2 quando è h 2 < A t e di A 2 -f- 1 

 quando è & 2 = A x ; coll'intesa però che, in questo secondo caso, se il valore 



comune di h u h 2 è m, i gruppi effettivamente distinti sono — , se w è pari, 



r " ' 



ed m ^j~ se m è dispari ('). 



« Se si suppone /ì 2 = « — A 2 — 1 {n dispari), cioè h 2 = m , e che gli 

 spazi fondamentali di H 2 siano coniugati in Hi , allora saranno gli spazi fon- 

 damentali di questa coniugati nella prima, sicché sarà anche h x =n — h x — l=m. 

 La corrispondenza H 3 prodotto di Hi , H 2 avrà allora gli spazi fondamentali 

 anche di dimensioni m , e questi saranno coniugati sia in Hx che in H 2 ( 2 ). 



« Le tre coppie di S TO costituenti gli spazi fondamentali di H x , H 2 , H 3 

 sono in una stessa varietà quadratica e sono degli S m dello stesso sistema 

 o di sistema diverso secondochè m è dispari o pari ( 3 ). 



« I gruppi b). Questi gruppi si ottengono combinando la corrispondenza 

 polare H x rispetto ad una varietà quadratica colla corrispondenza collineare 

 involutoria H 2 , che ha per spazi fondamentali due spazi polari rispetto 

 ad Hi , poiché allora H 2 lasciando invariati sia i punti che gli S n _! di quei 

 spazi fondamentali il prodotto Hi H 2 = H 3 porrà fra questi quella stessa cor- 

 rispondenza correlativa che vi pone Hi ; e perciò H 3 sarà pure una corrispon- 

 denza polare rispetto ad una varietà quadratica ed in essa saranno pure polari 



(!) Anche se hi==m i gruppi corrisp. a k—i, /ì = /j 2 + 1 — i non sono diversi. 



( 2 ) Se Hi ed H 2 hanno spazi fondamentali reali, H 3 li avrà immaginari, perchè su 

 una retta unita comune ad H t , H 2 , H 3 le involuzioni binarie da esse determinatevi sono 

 armoniche due a due. — Anzi, diciamolo giacché cade a proposito, una tale involuzione può 

 essere utilizzata a rappresentare con elementi reali le coppie sghembe di S m immaginari 

 negli spazi di 2m-\-l=n dimensioni. 



( 3 ) Cfr. per la distribuzione degli S m di una quadrica: Segre. Le quadriche ecc. 

 negli Atti di Torino, 1884. 



