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critico per gl'integrali e indichiamo con a x ; a% ; .... a\ i punti ad apparenza 

 singolare entro il parallelogrammo e con : 



— n, — (n -j- h) ; o , ì\ ; o , n 2 .... o , Vi 

 le radici delle determinanti relative a : o ; ati ; a% ; .... , essendo n,h,r 1 ,r 2 ....ri 

 sempre differenti da zero. 



« Inoltre per i punti ai dovranno essere soddisfatte le relazioni espri- 

 menti che gì' integrali non hanno logaritmi in ai ; invece questa relazione 

 non deve sussistere per lo zero. 



« Si deve poi avere : 



J 



(2) 2n + h -f- T + l = }_i ri , 



,i 



la quale uguaglianza esprime che la somma dei residui di entro il paral- 

 lelogrammo è uguale allo zero. Di più mettiamo come allora per condizione 

 che n non deve superare alcuno dei numeri r. 



« Negli esempi studiati abbiamo osservato un fatto notevole, cioè che 

 le relazioni, che si devono avere per i punti ai , sono necessarie e sufficienti 

 per l'esistenza di un solo integrale uniforme. 



« 2. Mi propongo ora dimostrare il seguente : 



« Teorema. Le equazioni differenziali lineari del secondo 

 ordine a coefficienti doppiamente periodici ed aventi entro 

 il parallelogrammo dei periodi un solo punto critico per 

 gl'integrali, ammettono un integrale particolare uniforme 

 di seconda specie, tutte le volte che le radici della' determi- 

 nante relativa al punto critico sono numeri interi. 



« Si può sempre, per mezzo del cambiamento della variabile indipen- 

 dente, trasportare in zero il punto critico che gl'integrali hanno entro il pa- 

 rallelogrammo fondamentale. 



« Ciò posto consideriamo il campo C formato dai quattro parallelogrammi 

 della rete aventi lo zero per vertice comune. Indichiamo questi quattro pa- 

 rallelogrammi con 1, 2, 3, 4, in modo che 4 sia il parallelogrammo fonda- 

 mentale e 3, 1, 2 quelli che si troveranno successivamente descrivendo in C, 

 a partire da un punto del parallelogrammo 4, un giro positivo attorno allo 

 zero, cioè tale che questo punto rimanga alla sinistra del cammino. 



« Neil' intorno di zero si hanno sempre due integrali particolari distinti 

 fiì y% i P er i quali, facendo con la variabile un giro positivo attorno a 

 zero, si ha : 



M = Ih 



essendo 3 una costante determinata sempre differente da zero e [y x ~\ , Q/ 2 ] i 

 valori che prendono y x e y% dopo che la variabile ha eseguito il giro ed è 

 ritornata al punto di partenza ; sicché y x è una funzione monodroma in C. 



