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« S' indichino con y> (x) e ip (x) gl'integrali y x e y z , ed essendo x 0 un 

 punto del parallelogrammo 1, si faccia variare x da x 0 a x 0 -\- 2« e da x ti 

 a -j~ 2&/, senza però che esca dai parallelogrammi 1, 2 nel primo caso e 

 dai parallelogrammi 1, 3 nel secondo. 



« Si avrà allora 



<f (x 0 -f- 2w) — Acp O 0 ) + Btf> (x 0 ) 

 ip (x Q -\- 2w) = Cy (# 0 ) + D</ 7 (^ 0 ) 

 9> (a?o + 2ft/)= A' + B'(/'(^o) 

 i//(^o+2c/)= C'g>(# 0 ) + D'</>(^ 0 ) , 



essendo A. B, C ... costanti determinate. 



« Di qui si vede che y (x 0 -\-2>o) ; </< (,2? 0 -)-2ci)), <p (x^-{-2w') ; ^(^ 0 +2m') 

 si comportano nei parallelogrammi 2 e 3 come i secondi membri delle pre- 

 cedenti uguaglianze si comportano nel parallelogrammo 1. 



« Facciamo ora variare la x da x 0 -\-2m a x a -\-2w-\-2u) e da Xo-\-2o> 

 a x 0 -\-2o)'-\~2m , in modo però che non esca dai parallelogrammi 2, 4 nel 

 1° caso e da quelli 3, 4 nel secondo ; si ottiene in tal modo : 



. <p (x 0 + 2w + 2w')= [A'A -f B'C] y (a: 0 J -f [A'B -f B'D] xp (x 0 ) 

 ifj (x 0 + 2« + 2«')= [CA + D'C] y (# 0 ) + [CB -f D'D] ^ (#„) 

 <f (xo + 2«'-f 2») = [AA' + BC] </> (#„) + [AB' + BD'] xp (x 0 ) 

 xp (x 0 + 2«'-f 2«) = [CA' + DC'J 9) (a?b) + [CB' -f DD'] xp (x 0 ) . 



« Ma la funzione <p (x) è monodroma in C ; quindi si deve avere : 



<p (x 0 -j- 2u) -\- 2w') == g> -4- 2o)' -j- 2w) . 

 « Epperò sarà : 



B'C = BC 

 A'B + B'D = AB'-f-BD'. 



« Per la funzione xp (x) abbiamo invece : 



■ xp (x 0 + 2w -f- 2w) = xp (x 0 + 2W -f- 2a>) + <fy (# 0 4- 2w' -f 2w) 



da cui : 



C A + D' C = CA' + DC + S [AA' -f BC] 

 C B -f D' D = CB' + DD' -f <J [AB' -f- BD'] . 



« Supponiamo che una almeno delle due costanti B, B' sia differente 

 da zero. Allora dall'ultima delle quattro relazioni che abbiamo ottenuto fra 

 le A, B, C... , tenendo conto ancora di 



B' C = BC , 



si ricava : 



AB' + BD' = 0 , 



