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e quindi anche : 



A' B + B' D = 0 . 



« Da queste due relazioni, sostituendo alle costanti B, B' le altre due 

 C, C, che sono proporzionali alle prime, si ottiene : 



AC -f- CD' = 0 



A'C + C'D = 0. 



« Ma da queste due risulta subito : 



AA' -{- BC = 0 . 



« Le due relazioni : 



AA' -f BC = 0 

 AB' -f- BD' = 0 , 



ci danno l'altra : 



<f (x 0 + 2w' -f- 2«) = 0 . 



« Quindi la funzione g> (x) dovrebbe essere nulla nel parallelogrammo. 4, 

 il che è impossibile. Perciò sarà B = B' = 0 . 

 « Per conseguenza si dovrà avere : 



<p (x 0 -4- 2w) = k(f (z 0 ) 



(p (x 0 + 2o/)= A'(f(ft) . 



« Da queste due relazioni si deduce che la funzione <p (x) si comporta 

 nei parallelogrammi 2, 3, 4 come nel parallelogrammo 1. 



a Perciò, se si considera la y> (x) in tutta la rete di parallelogrammi, 

 si vede che essa è monodroma negli intorni dei punti 2w, 2«', 2w -f- 2w'. 

 Ora è facile passare da questi nuovi vertici ad altri, come siamo passati 

 dallo zero ad essi. Da ciò risulta che la funzione <p (x) è uniforme in tutto 

 il piano e quindi di 2 a specie. 



i 3. Consideriamo ora l'equazione differenziale lineare del secondo ordine 

 a coefficienti doppiamente periodici 



(3) y" + fy ,J rgy = Q 



e supponiamo di aver verificato che tutti i punti d' infinito che f e g hanno 

 entro il parallelogrammo dei periodi, sono o poli o punti regolari per gì' in- 

 tegrali, all' infuori di uno. a ad es., per il quale sappiamo soltanto che le 

 radici della determinante relativa ad esso sono numeri interi ; allora per il 

 teorema dimostrato siamo certi che la (3) ha sempre un integrale particolare 

 uniforme di seconda specie. 



« Possiamo, invece di considerare direttamente la (3). trasformarla in 

 un'altra, che abbia una forma analoga a quella della (1). Basta per questo 

 fare dapprima sulla (3) un cambiamento di variabile che trasporti in zero 

 il punto a, eppoi un cambiamento della funzione incognita per il quale tutti 



