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dagli integrali semplici al caso degli integrali doppii, invece dei due limiti 

 dell'integrale, abbiamo una o più linee che formano il contorno del campo 

 di integrazione e lungo queste debbono darsi i valori arbitrarii delle fun- 

 zioni incognite. Quindi in questo caso non è più possibile ottenere una fun- 

 zione ordinaria analoga alla funzione caratteristica di Hamilton. 



« Peraltro la difficoltà a cui abbiamo ora accennato può superarsi. In alcune 

 Note che ebbi l'onore di presentare a cotesta Accademia ho mostrato come 

 per alcune ricerche fosse utile introdurre delle funzioni che, invece di dipen- 

 dere come le ordinarie funzioni dai punti dello spazio, dipendessero da linee, 

 e in generale come potessero considerarsi delle quantità dipendenti da tutti 

 i valori di una o più funzioni in dati intervalli. 



« Ora nella questione sopra esaminata si presenta spontaneamente il pen- 

 siero di costruire un elemento analogo alla funzione caratteristica ricorrendo 

 all' impiego della nuova specie di funzioni ora ricordata. In questo modo si 

 trova che la teoria Jacobi-Hamilton è suscettibile di essere estesa agli inte- 

 grali multipli. Una tale generalizzazione ha formato il soggetto di alcune 

 mie ricerche delle quali mi permetto di presentare un saggio nella pre- 

 sente Nota. 



« 1. In questa Nota però, oltre al non escire dal caso degli integrali 

 doppii, mi limiterò a considerare quei problemi del calcolo delle variazioni 

 in cui si tratta di annullare la variazione prima di un integrale 



I ±= ff U du dv 



in cui U è una funzione di x x , x 2 ... x n di « e », e dei determinanti 



d (xì , Xg) 

 d(u , v) 



essendo X\ ... x n 1© funzioni incognite di u e v. 



« Questa classe di problemi relativi agli integrali doppii si avvicina a 

 quella dei problemi degli isoperimetri. 



« Vediamo sotto che forma possono mettersi le equazioni differenziali del 

 problema. Posto 



d (Xj , Xs) y 



d(u,v) "* is ' 



avremo 



onde, supponendo nulle le variazioni óxì ai limiti, con integrazioni per parti 

 si trova 



(i= 1, 2 ... n). 



