— 129 — 



« Poniamo 



(2) = Pih , Pì,ì = 0 , 



avremo 



d (u, v) ~ò%ì 



* Sia ora 



(3) H = — U-hX pino- 



li Supponiamo che le (2) possano risolversi rispetto alle §ui • Troveremo 

 queste quantità espresse mediante le Xi ... x n , le pi h , la u e la v. Sostituendo 

 tali valori in H otterremo 



H = H (a?! .... x n , p ih .... , u, v) , 

 onde variando, col supporre u e v costanti, 



-\TT n. ~\J1 



$E== — Y :rr— tè* — % — àxi + Zj>4 1 & «jfr* = 



— - Z 5r ^ + Z & ^ 



ossia 



~ÒXi ~òXi ' Ti^t/i 4A ' 



« Al sistema di equazioni (1) può quindi sostituirsi l'altro 



d , d? ft ) "5H _ ^- i i (pa , x h ) DH 



d , y) Dj)£ft d(u, v) ~òXi 



il quale ha una forma perfettamente analoga alla forma canonica data da 

 Hamilton alle equazioni della dinamica. 



« Consideriamo ora il sistema (I) di equazioni differenziali, in cui H è 

 una funzione qualunque delle p ih , delle x x , x 2 ... x n , àiu e di v. Si può fa- 

 cilmente provare il teorema reciproco di quello ora dimostrato, cioè che le 

 equazioni (I) possono farsi dipendere sempre da un problema di calcolo delle 

 variazioni. Si consideri infatti 



d (xi , Xh) 



H i du dv . 



d (u , v) 



Affinchè sia SJ == 0 , supponendo nulle le Sxì ai limiti, debbono aversi le 

 equazioni (I). 



« 2. Nello studio che ora faremo partiremo dal sistema (I) supponendo 

 che le variabili xi siano in numero di tre. Ammettiamo che il sistema (I) 

 sia tale che le funzioni incognite siano definite quando si conoscano i valori 

 delle al contorno di un campo § in cui si suppongono variabili 



le u e o. Il campo S nel piano u, v sia limitato da m linee ^ , f\ 2 ••• -G» • 

 L'equazione di ciascuna di esse J^j consideriamola sotto la forma 

 u = fi (ti) v = <fi (ti) Ti > ti > 0 

 Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 18 



