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e denotiamo i valori di x x , x 2 , x 3 assegnati lungo la <j con ipi (ti), xì (h), 

 Oi (tì). Queste funzioni, insieme colle fi e (fi supponiamole continue, periodi- 

 che col periodo T t e generalmente derivabili. Ammettiamo che i detti ele- 

 menti siano elementi caratteristici delle funzioni incognite, almeno finché 

 le linee £é e i valori arbitrarli assegnati alle x al contorno restano com- 

 presi entro certi limiti. 



« Vediamo in tale ipotesi come possono considerarsi gli integrali del 

 problema. 



« Ciascuno di essi, 1°) sarà una funzione delle variabili u, v; 2° dipen- 

 derà dalle funzioni fi (ti) , ^ (ti) , ipi (k) , & (ti) » e t (ti) ( l )- 



« Consideriamo uno spazio a cinque dimensioni i cui punti si riferiscono 

 alle coordinate cartesiane y x , y 2 , y 3 , y if y 5 ed in esso le linee Ai aventi 

 per equazioni 



Vi = fi (U) , yz = <pi (ti) , y% = fi (ti) , j/4 =-- n (U) , y 5 = Bi (ti) . 



« Gli integrali delle (I) potranno ritenersi come quantità dipendenti 

 dalle linee A x , A 2 ... A m e dai due parametri u e y, cioè, adottando delle 

 notazioni usate già in altra occasione, potremo scrivere 

 (4) xì = Xi \[_A X , A % ... A m ,u, v]\ (4') pih=Pih\[A l ,J t ...A m ,u,v]\. 



« In uno spazio a tre dimensioni, i cui punti abbiano per coordinate 

 Xi i X% , X 3 , consideriamo le linee L ; aventi per equazioni 



Xi = xpi (U) , x 2 = xì (ti) , x 3 — 6i (ti). 

 È facile riconoscere che gli integrali delle (I) non possono ritenersi come 

 dipendenti separatamente dalle linee £i , -£ 2 ••• -C_ m , In , L 2 ... L m , e dai pa- 

 rametri u e v ( 2 ). 



« 3. Ciò premesso in 



du dv 



sostituiamo in luogo delle Xi e delle p ih le (4) e (4'). Denotiamo con W la Y 

 dopo eseguita la sostituzione. Avremo evidentemente 

 W = , A 2 ....A m J. 



« Da ciò segue che se diamo alle linee A x , A 2 ... A m degli spostamenti 

 infinitesimi, ossia se variamo di infinitamente poco le funzioni f s (t s ), (p s (t s ), 

 V's (tòt Zs (t$), &s (t s ), avremo che la variazione di W sarà espressa da 



(!) Eendiconti E. Acc. d. Lincei, voi. Ili, fase. 4°. 



( 2 ) Perchè ciò fosse bisognerebbe che le Xi e si mantenessero inalterate spo- 

 stando una qualunque Li lungo sè stessa e conservando inalterata la corrispondente 



