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ovvero, tenendo conto delle prime fra le relazioni (I), 

 d'onde finalmente 



M s + H = 0 . (5 '== 1 , 2 ... m) . 

 « 7. Osserviamo ora che a cagione delle (10) e (13) le equazioni prece- 

 denti si possono scrivere 



(IV) 0= (^)) S +H ((^7)) s ' (xSb) s ' (^T)): ' x ^ x * w,v ) 



in cui si è sostituito in H in luogo delle p&jflai ,pi2 i loro valori dati 

 dalle (10) e la s ha i valori 1 , 2 ... m . 



« Si ha dunque che W considerato come dipendente dalle linee 

 Ci > -C.2 , ••• -C«i » In , L 2 , ... L TO deve soddisfare alle m relazioni differenziali 

 precedenti che sono perfettamente analoghe alle equazioni a derivate parziali 

 alle quali si giunge nella ordinaria teoria delle equazioni differenziali poste 

 sotto la forma canonica ( ! ). 



« 8. La funzione W di linee che in tal modo è stata ottenuta non è in 

 generale una funzione di primo grado. Si supponga ora H indipendente da u 

 e da v potremo dimostrare il teorema : 



Noti gli integrali delle equazioni differenziali 



K) d(uv) -ìpu ' ^ d(uv) ~ Dxì {i ~ X '-'*! 



si potrà determinare una funzione di primo grado W, la 



quale soddisfa la relazione 



in cui /ì è una costante, e le derivate della funzione W sono 

 sostituite alle p in H. 



« Premetteremo il seguente lemma : 

 Gli integrali delle equazioni (Y) soddisfano la con- 

 dizione li = cosi 



« Abbiamo infatti 



« Analogamente si trova =0 il che dimostra il lemma. 



« Supponiamo di aver trovato gli integrali 

 (14) Xì = Xì(u,v ,C ,d) (14') p is =p is (u,v ,C ,d) 



~hh = 0 



(!) Vedi le lezioni di dinamica di Jacobi. Lezione 19. 



