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« Esisterà dunque una funzione di linee W di primo grado, di cui le deri- 

 vate sono le ^23,^31)^12 e che a cagione della (18) soddisferà la condi- 

 zione (IV'), 



k 9. Passiamo ora a dimostrare la proposizione reciproca : 

 Sia W una funzione di primo grado di linee nello 

 spazio XiX 2 x 3 che soddisfa la equazione 



av -ì hM^ H \ 



(iV ; ^Vd^^)'^^^)' m^i^) x ' 3 ; 



in cui h è una costante. Pongasi 



DW _ DW = DW _ 



D (e2?2 5 X%) D (c2^3 $?l) D (<2?1 Xì) 



Se sostituendo i detti valori nelle equazioni 



Dj?i S 



queste sono compatibili, allora saranno soddisfatte anche 

 le equazioni 



n \ Y 2 (P^^h) _ _ PH 



K z) ^ D(u,v) ~ D^i " • 



« Oltre a ciò potremo dimostrare : 

 Se W dipende da un parametro costante a , posto 

 DW DW 



W = , W"= — — , W' e W" saranno due funzioni di linee L 



~òa DA ' 



nello spazio XiX z x 3 . Spostando la linea L sopra una qua- 

 lunque delle superficie 



(19) Xi = X\(u, v) , x 2 = x 2 {u ,v) , x 3 = x 3 (ti , v) 

 che si ottiene integrando le (li), avremo 



(20) F|[L]|=|^, (20') W"|[L]| = ^=[J^^ + A', 



essendo e la porzione della superficie (19) racchiusa entro 

 la linea L ed essendo a! e U due costanti. 



« Infatti, sostituendo gli integrali (19) delle (IJ nelle p ih , avremo 



y ~ò(PihX h ) _ \ y ~òp ih d(x r x h ) _ y y d(XrX h ) / !>p ih pp r A _ y DH Dff rfc 



« Ma siccome si ha H = cost., sarà 



DH Djtu DH 



~^Prh vXi ~òXl 



onde 



D , DH _ 



D («• , v) ~òXi 



Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 19 



