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Matematica. — Sulla connessione degli spasi. Nota del prof. A. 

 Tonelli, presentata dal Socio Cerruti. 



« In una Nota inserita nei Kendiconti di questa Accademia, il signor 

 dott. Bortolotti (') ha dato una dimostrazione ingegnosissima del seguente 

 teorema relativo alla teoria della connessione: 



« Se un sistema di n spazi chiusi = (a) a t dimensioni 



« nè da soli nè comunque tra loro combinati formano contorno completo di 

 « uno spazio linearmente connesso a ^ -f- li dimensioni tutto quanto contenuto 

 « in E, ma lo formano con ogni altro spazio chiuso a t dimensioni ; e se un 

 « altro sistema di m spazi chiusi b 1 , b 2 , . . , b m = (b) si trova nelle identiche 

 « condizioni del sistema (a) ; dovrà essere n — m » . 



<f Di questo teorema importantissimo, che ha per iscopo di giustificare 

 la definizione dell'ordine di connessione lineare degli spazi, era già stata 

 data una dimostrazione dal Eiemann limitatamente alle superficie e dal 

 prof. Betti per gli spazi di un numero qualunque di dimensioni, fondandosi 

 sopra un lemma del quale non soleva darsi alcuna dimostrazione, perchè 

 ritenuto evidente, enunciato dal Eiemann per le superficie ed esteso dal 

 prof. Betti agli spazi. 



« Io, dal canto mio ( 2 ), ebbi ad occuparmi di questo lemma e, non 

 sembrandomi del tutto evidente, ne tentai la dimostrazione, osservando anche 

 come esso, per essere giusto, doveva enunciarsi in un modo alquanto differente. 

 Messo su questa via era naturale che io ricercassi se il teorema accennato, 

 che aveva per fondamento questo lemma nella sua forma primitiva, ancora 

 aveva luogo. Per questo io osservai che, seguendo scrupolosamente il metodo 

 già tenuto dal Eiemann e dal Betti, si poteva ancora giungere alle conclu- 

 sioni formulate da questi insigni matematici. Però il cenno da me dato in 

 quella circostanza per giungere alla dimostrazione del teorema sopra riferito, 

 era così fugace ed intralciato da considerazioni superflue per lo scopo pre- 

 fissomi, che io trovo naturale l'osservazione del sig. dott. Bortolotti, e cioè 

 che la mia dimostrazione non sia del tutto soddisfacente. Non è soddisfacente 

 per la esposizione, non però per mancanza di rigore nelle deduzioni, perchè 

 se si spoglia di quanto vi era di superfluo, si svolge più ampiamente lasciando 

 inalterato il metodo, essa, restando rigorosa, diventa semplice e chiara quanto 

 si può desiderare. Io mi permetto di pubblicarla onde togliere ogni dubbio 

 che il metodo di Eiemann e del Betti, che qui viene conservato, non possa 

 condurre ad una rigorosa dimostrazione del teorema enunciato anche dopo la 

 modificazione del lemma sul quale si fonda. 



(!) Eendiconti Acc. Lincei, voi. V, 2° sem., pp. 229-234. 

 ( 2 ) Atti Acc. Lincei, t. II, serie 2 a . 



