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« Evidentemente per la dimostrazione del teorema basterà provare che 

 non può essere m^>n perchè, invertendo i due sistemi (a) e (b), ne conse- 

 guirà che non può essere n ^> m, ovvero che dovrà aversi % — m. 



« Per le ipotesi fatte b x formerà contorno con un insieme degli elementi 

 del sistema (a); e poiché b x non forma contorno da sè, così se diciamo che 



(«) b[ (a') 



formano contorno, potremo supporre che (a') sia composto almeno di uno al 

 più di tutti gli elementi di (a). Intendendo poi di aver compreso in (a') 

 solamente gli elementi necessari a formar contorno con b x , e supponendo che 

 tra questi si trovi a x , consideriamo il sistema 



(1) b x , àz f a 3 , . . , a n = (b x , a) 



e dimostriamo che esso si trova nelle condizioni del sistema (a}. Ove gli 

 elementi del sistema (1) potessero formare contorno tra loro, per le ipotesi 

 relative al sistema (a), ciò non potrebbe avvenire che col concorso di b x : 

 ma se supponiamo che 



k (a") 



con (a") composto di alcuni o tutti gli elementi a 2 , a 3 , . . , a n , formino con- 

 torno, ne concluderemo che anche 



{a') (a") 



dopo soppressi gli elementi due volte ripetuti, formeranno contorno di una 

 o più porzioni di spazio a t -f- 1 dimensioni : e ciò è impossibile, per l'ipo- 

 tesi relative al sistema (#), se si osserva che {a!) e (a!') non possono essere 

 identici perchè nel primo è contenuto l'elemento a x e nell'altro no. Dunque 

 gli elementi del sistema (1) non possono formar contorno nè da sè nè tra 

 loro comunque combinati. 



« D'altra parte uno spazio qualunque c diverso da ct\ , a 2 , . • , a„ for- 

 merà contorna con un insieme di questi elementi: avremo allora che 



c {a'") 



con {a'") composto colle ai, a 2 , . . , a n , formeranno contorno completo. Ora 

 o {a'") non contiene a x e ne concluderemo che c forma contorno cogli ele- 

 menti del sistema (1) : o {a'") contiene a x e allora a causa della (a) avremo 

 che anche 



c, b> ){d") - a,\ \(a') - a x \ 



dopo soppressi gli elementi che compariscono due volte, formano contorno: 

 ovvero c forma contorno cogli elementi del sistema (1). Se poi fosse, come 

 può essere ora, c = a x , la (a) ci dice subito che a x forma contorno cogli 

 elementi del sistema (1). Così è provato che questo sistema si trova nelle 

 identiche condizioni del primitivo sistema (a). 



