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« Nel medesimo modo tenuto per formare il sistema (1) noi potremo 

 formare successivamente altri sistemi 



(2) bi , %, « 3 à n == (bi , b 2 , a) 



(3) bx, b 2 , b 3 , di, . . , a n = (b x , b 2 , b 3 ,a) 



(s) Si, b 2 , b 3 , . ., b s , a s + ì ,. ., On = {b u b 2 ,.., b s , a) 



che si trovano nelle condizioni dei sistemi (1), (a). Perchè ciò risulti dimo- 

 strato vero in generale basterà far vedere come dal sistema (s), supposto 

 nelle condizioni volute, se ne tragga un altro 

 (s -f 1) b x , b 2 , . . , b s+1 , a s+2 , • • , <V=(#i, h,.., b s+l , a) 

 che si trova pure nelle condizioni del sistema (a) e che si trae dal si- 

 stema (s) sostituendo ad uno degli elementi .a s +i , « s+2 , . . , a n , per esempio a s+l , 

 uno degli elementi # s+1 , b s + 2 , . . , # m , per esempio b s +i. 



« A causa delle ipotesi relative al sistema (s) è chiaro che # s+1 , for- 

 merà contorno con un composto dei suoi elementi, per cui se ammettiamo 

 che formino contorno completo 

 (/*) b s+l (b') (a") 



con (b') composto con alcune o tutte le bi , b 2 , . . , b s e con (a IV ) composto 

 con alcune o tutte le a s+l , a s+2 , . . , a„ , possiamo supporre che (a lv ), a causa 

 delle condizioni relative al sistema (b) consti almeno di un elemento. Am- 

 messo, per simmetria, che ad (a lv ) appartenga a s+1 consideriamo il si- 

 stema (s -f- 1), e ci sarà facile mostrare che esso si trova nelle condizioni 

 del sistema (a) e dei sistemi. (1), (2), . . , (s). 



« Per le ipotesi relative al sistema (s), gli elementi del sistema (s -j- 1) 

 non possono certo formare contorno tra loro senza il concorso dell'elemento i s+1 ; 

 ma se supponiamo che formino contorno 



b s+1 (b") 



con (b") composto cogli elementi b x , b 2 , . . , b s e (a v ) cogli elementi a s + 2 , 

 a s+3 ,..,«„, a causa di (/?) formerebbero contorno anche 



{¥) {b") (a-) (a v ) 



dopo tolti gli elementi ripetuti due volte. Ora poiché non può essere (a 1Y ) = (a y ) 

 perchè il primo contiene a s+1 , ed il secondo no ; così ne verrebbe che alcuni 

 degli elementi del sistema (s) formerebbero contorno, ciò che è contrario 

 alle nostre ipotesi. Preso poi uno spazio c qualunque differente da b x , b 2 , . . , 

 Os t ^s+l ) • • , &n eSSO forma contorno con una combinazione di questi elementi, 

 che sono quelli del sistema (s) ; per cui avremo che formano contorno 



e (b" f ) 



con (b'") composto cogli elementi b x , b 2 , . . , b s e (<z VI ) degli elementi a s+ìì 

 a s + 2 , . . , a n . Allora se in (a YI ) non è compresa a s +x avremo che c forma con- 

 torno con una combinazione degli elementi di (s -f- 1) ; se in (a Y1 ) è conte- 



