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* Accennando con XYZ i coseni di direzione della normale alla super- 

 ficie, elevata dalla parte conveniente, acciocché essa sia disposta rispetto alle 

 tangenti positive delle curve v = Cost u = Cost, come l'asse delle z lo è 

 rispetto agli assi delle x e delle y, porremo 



L =X 



M==X 



N = X 



« La relazione 

 (ì) 1 Ldu 2J r 2Mdudv-\-^dv 2 



( ' q ~ V du 2 -h 2F du dv -\-Sdv 2 



fornisce allora il raggio di curvatura q, nel punto (u, v) della geodetica, avente 

 ivi la direzione determinata dagli incrementi du, dv , ed in virtù delle pre- 

 cedenti convenzioni, tal valore riescirà positivo o negativo, secondo che il 

 centro di curvatura corrispondente cade sulla normale positiva o sulla nega- 

 tiva ('). D'altra parte si ha per il teorema di Eulero : 



(2) — = cos2 X + sen2 % 



dove g t q 2 sono i due raggi di curvatura principali, / l'angolo che la geo- 

 detica forma colla linea di curvatura corrispondente al raggio Qi . Per met- 

 tere in armonia le due forinole dovremo però attribuire a g 2 il segno -{- 

 o il segno — , secondo che il centro di curvatura, ad essi corrispondente, si 

 trova dalla parte della normale positiva, o dalla parte opposta. Supporremo 

 di più che sia sempre in valore assoluto q 1 <.q 2 . 



« La torsione geodetica , corrispondente agli incrementi du, dv , è 

 data dalla formola ( 2 ) 



m J__ _ (EM — FL) du* -f (EN — GL) dudv + (FN — GM)dv 2 



% ~ j/EG — F 2 (E du 2 + 2P dudv -{-Or dv 2 ) 



dove il radicale si intende preso positivamente, ed abbiamo premesso al 

 secondo membro il segno — , per rendere l'espressione coincidente con quella 

 data da Bertrand ( 3 ): 



(4) — = t—-r-^\ sen x cos z . 



Riguardo a questa osserveremo solo che l'angolo % si intende generato posi- 

 tivamente, cioè nel senso in cui bisogna far ruotare la tangente positiva alla 



(!) Cfr. Knoblauch, Einleitung in die allgemeine Theorie der krummen Flàchen, 

 §§ 9, 10. 



( 2 ) Knoblauch, op. su citata, § 96 y Bianchi, Lezioni di Georn. differenziale, pag. 390. 



( 3 ) Mémoire sur la théorie des surfaces. Jour. de Liouville, t. IX, l re Serie, 1844. 



Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 22 



