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linea v — Cost per portarla a coincidere colla tangente positiva alla linea 

 u = Cost, attraverso l'angolo 0- « ri) fra esse compreso. 



« Designeremo finalmente con Ei F! Gì le quantità formate con XYZ 

 come EFG lo sono con xyz, cioè definite dalle equazioni : 



E .=i(f)\ t.-zf f , *=i(#)\ 



di modo che l'elemento da il quale, nella solita rappresentazione di Gauss, 

 corrisponde all'elemento ds, sarà dato da 



da 2 = Ej du % -+- 2F X du dv + G x dv 2 . 

 Elevando le normali alla superficie agli estremi dell'elemento ds, costruendo 

 la loro minima distanza, ed indicando con r l'ascissa di questa minima di- 

 stanza (segmento della normale compreso fra essa e la superficie) sarà ancora ( J ): 



_1_ _ Fj l dii ì -{-2F 1 dudv-\-G 1 dv z 

 ( > r ~ Ldu 2 -\-2Mdudv-\-~Ndv 2 



ed anche qui il valore di r riescirà positivo o negativo, secondo che è posi- 

 tivo o negativo il corrispondente valore di q. 



« 2. Da quanto precede risulta che nello studio di una superficie pre- 

 sentano una peculiare importanza le quattro seguenti forme differenziali 

 quadratiche : 



(6) ds 2 = Fdu 2 -f 2¥dudv + &dv 2 = A , 



fi & 



(7) ^- = Ldu 2 -\-2Mdudv + Ndv 2 = B , 



, 0 . ds 2 (EM — FL) du 2 -f (EN — GL) du dv - f ( FN — GM) dv 2 



(8) — ; — - ~ ; — 0, 



% j/EG — F 2 



(9) ds*_= dc 2 = Ej (fe 2 + 2F X rf M rfy + G, dy 2 = D . 



« I coefficienti delle due prime sono legati, come è noto, da tre equazioni 

 differenziali, una delle quali non è altro che la traduzione analitica del teo- 

 rema di Gauss, sulla invariabilità della curvatura. La terza forma differisce 



solo pel fattore — . ^ = dal Jacobiano delle due prime. Eiguardo ai coef- 

 t/EG — F 2 



fidenti della quarta si verifica subito che 



Ej = HL — KE , P! = HM — KP, Gì = HN — KG , 



dove 



EN — 2FM -f GL J_ J_ LN — M 2 _ 1 



(10) EG — F 2 •;<?a i ~<? 2 ' EG — F 2 QiQz 

 sicché si ha : 



D = HB — KA , 



(!) Cfr. Knoblauch, § 26. 



