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ossia, avuto riguardo alla (2) : 



^ = *.(|_ K )=*.(^ + ^) ( .). 



« Le relazioni (6) (7) (8) (9) porgono immediatamente il significato geo- 

 metrico delle forme differenziali quadratiche A, B, C, D, e mostrano come il loro 

 valore rimanga invariato per una trasformazione di coordinate. Nello stesso 

 modo come si considerano i parametri differenziali costruiti colla forma A, 

 si potranno considerare anche quelli costruiti colle altre; essi esprimeranno 

 delle proprietà relative a sistemi di curve tracciate sulla superfìcie, indipen- 

 denti dalla natura delle coordinate. 



« Ci limiteremo in questo lavoro alla considerazione dei parametri diffe- 

 renziali di 1° ordine corrispondenti alle sole forme A, B, C, e rappresentando con 



(f (uv) == <p 



il sistema di curve dato sulla superficie, li designeremo colle notazioni J M y, 

 J lBÌ (p, ,i {c) (f rispettivamente. 



« 3. Incominciamo dalla ricerca del significato geometrico del parametro 



, (B) _ \~òv ! .~òu Iìv yòu / 



9 " LN — M 2 



relativo alla forma B. Indicando con du, dv gli incrementi di u, v nel pas- 

 saggio da un punto ad un punto infinitamente prossimo della linea cp, e ponendo 



Sw = — Su 4- — Sv , 



quando i differenziali Su Sv si intendano legati a du dv per mezzo della 

 relazione : 



(12) LduSu-\-M(duSv-\-dvSu)-j-ltSvSv = 0 , 

 si ha per definizione ( 2 ) : 



j^ w= ^! 



y L^ 2 + 2M^^ + N(Jy 2 



« Ma la relazione (12) esprime che i due elementi ds, Ss, definiti dagli 

 incrementi du, dv, Su, Sv rispettivamente, sono coniugati. Indicando con q 

 il raggio di curvatura della geodetica avente la direzione dell'elemento Ss, 

 (raggio che, brevemente, diremo coniugato a g) si avrà per la 7): 



~ = LSu 2 -\- 2M.SuSv + NSv 2 , 



epperò : 



(13) ^'ifffi' 



(!) Cfr. Ossian Bonnet, Jour. de l'Ec. Polyt, Cali. 32. 



( 2 ) Beltrami, Sulla teorica generale dei parametri differenziali. Atti della E. Acc. 

 di Bologna, 1869. 



