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« Considerando il caso del segno -f- , (il quale non può verificarsi che 

 per le superficie a curvatura positiva) l'equazione 



equivale alla 



— cos* x + ~ sen 2 % = 1 

 Qi Qz 



epperò la direzione definita dall'angolo % è quella delle linee caratteri- 

 stiche ( 1 ). Le linee caratteristiche si possono dunque anche definire come quelle 

 lungo le quali è soddisfatta una qualunque delle relazioni 



q = q r — r' x — — %' 



due delle quali sono conseguenza della terza, come risulta dalle (22). Indi- 

 cando con q c ,r c , t c , Sì c i valori di q , r , % , Sì relativi alle linee caratteri- 

 stiche, le (16) (21) si riducono alla forma 



1 1_ 1 1 



(q c sen Sì e f g x q 2 (t c cos Sì c y q 2 



La seconda di queste relazioni si può considerare come quella che fa riscontro 

 alla formola di Enneper (23) sulle superficie a curvatura positiva. 

 Nella mia Nota già citata si è trovato il valore di r c sotto la forma 



r c 2 ( ?1 q 2 ) 



Sostituendo questo valore al posto di / nella (19) si ottiene : 



2 J w <p 



che è la condizione necessaria e sufficiente affinchè le linee 

 (p(uv) = (p della superficie siano caratteristiche. 



« 5. Se si vuole applicare il metodo precedentemente usato alla ricerca 

 del parametro differenziale primo, corrispondente alla forma quadratica C , 

 devesi prima cercare qual è la relazione di reciprocità di due elementi 

 ds (du , dv) , és (óu , óv) , espressa dall' eguagliare a zero la forma differen- 

 ziale bilineare 



foA . n „ (EM — FL)du oV-j-£(EN — GL)(du dv-\-dv <%)-f-(EN — GM)dv Sv 

 (^4) \j = — 



j/EG — E 2 



corrispondente alla forma quadratica C . Il valore della forma bilineare C* 

 rimane invariato, come è noto, per una trasformazione di coordinate, al pan 

 di quello della forma quadratica C . Immaginiamo allora eseguita quella par- 

 ticolare trasformazione di coordinate, per la quale la superficie viene ad essere 

 riferita alle sue linee di curvatura. Indicando con u', v le nuove coordinate, 

 e contrassegnando con un accento gli elementi trasformati E ... L ... si avrà, 

 come è noto, nel nuovo sistema : 



F'= 0 M'= 0 



(!) Pucci, Dell'angolo caratteristico e delle linee caratteristiche di una superficie. 

 Kend. della E. Acc. dei Lincei, voi. V, 1° semestre, pp. 501-507. 



