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Matematica. — Su alcuni integrali particolari delle equazioni 

 differenziali lineari non omogenee. Nota del Corrispondente S. Pin- 



CHERLE. 



« Abbiasi la funzione razionale y> data da 



(1) Q(x)<p = ?(x), 



dove il denominatore Q (x) è dato, e di grado m, e si pone uguale a 



(2) Q (;r) = {x — «0 (x — a 2 ) . . . — a m ) , 



mentre il numeratore è arbitrario e di grado m — 1. I coefficienti di ~P(x) 

 si possono determinare per modo che esso numeratore coincida con uno dei 

 fattori di grado m — 1 di Q (x), ed in tal modo la cp si riduce alle frazioni 



semplici — - — ' — - — 1 ... le quali, composte linearmente, forniscono tutte 



X — ^1 X — &2 



P (x) 



le possibili funzioni „ ' • 

 y (%) 



« 1. La presente Nota ha per oggetto di osservare come il fatto dei più 

 elementari, ora ricordato, si mantenga qualora all'equazione (1) si sostituisca 

 l'altra, che si riduce alla (1) per p = 0: 



(3) ^ = ^Q(.)^ + ^Q l( ,)0 + ...-|-Q p (,)^P(,), 



dove Q (x) è dato dalla (2), e P (x) è, come prima, un polinomio arbitrario 

 di grado m — 1. Si suppone che l'equazione lineare omogenea 



(4) Jy = 0 



abbia gl'integrali regolari. 



» 2. Premettasi una definizione. Si chiamerà funzione semplice relativa 

 ad a un ramo di funzione analitica singolare nel punto a e nel punto oo , 

 regolare in ogni altro punto e che si riduce monodromo se il piano viene 

 tagliato da « all' infinito. Tali sono per esempio (x — «) x per X non intero, 

 log (x — a), ecc. 



« 3. Ciò posto, si tratta di dimostrare che 



«Fissata una radice a k di Q(x), si possono sempre deter- 

 minare i coefficienti di P (x) per modo che l'equazione (3) 

 ammetta come integrale una funzione semplice rei ati va ad a k . 



« Sia infatti 



P (x) = Co + Ci x -j- (? 2 x 2 -f- . . . -f C m -i x^ 1 . 



« Per ogni sistema di valori dati ai coefficienti c 0 , Ci , . . . c m -i , la 

 equazione (3) ammette un integrale, ed uno solo in generale, olomorfo nel- 

 l' intorno di x = 0, sviluppabile cioè in serie di potenze di x convergente in 



