— 200 — 



un cerchio di centro x = 0 e di raggio uguale al minimo modulo delle « ft . 

 Dando a quei coefficienti m sistemi diversi di valori il cui determinante non 

 sia nullo, avremo m equazioni (3) con altrettanti secondi membri diversi e 

 fra loro indipendenti linearmente, 



J<p = -p h (x), (A =1,2, 3, ...m); 

 ognuna di queste ha un integrale (p h olomorfo nell' intorno di x = 0 , e la 

 forma generale dell' integrale olomorfo per P (x) arbitraria sarà 



(5) <P ft == Cfta 9i -j- C s .2 <fz + . . . G h . m (f m , 



essendo le C ft . r costanti arbitrarie. 



« Distinguaci ora due casi, secondochò le radici di Q (x) sono o no 

 semplici. Nel primo caso, si faccia un taglio che vada da una data radice, 

 p. es. a k , all' infinito, senza passare per alcuna delle altre radici ; si descriva 

 poi una linea chiusa semplice che passando per tutti i punti cty , a 2 , . , . a m senza 

 attraversare il taglio, racchiuda un campo semplicemente connesso T in cui 

 sia contenuto x = 0. La funzione (P /£ , rappresentata nel cerchio di raggio 

 uguale al minimo modulo delle a h da una serie di potenze di x, si può 

 continuare analiticamente in tutto il campo T, mantenendosi in esso mono- 

 droma. Essendo a h radice semplice di Q (x), e la (4) essendo regolare, l'equa- 

 zione determinante corrispondente si ridurrà al primo grado: sia X h la sua 

 radice; la (4) avrà allora un integrale appartenente (') all'esponente X h , 

 della forma 



{x — «n? n ^h{a:—ccn) ( 2 ) 

 ed ogni integrale della (3), in particolare g> r , (r = 1, 2, . . . m), si potrà scri- 

 vere nell'intorno di a h : 



<Tr = a h . r (x — ct h ) lh ^ h (x — a h ) -\- % A (x — a h ) . 

 Sostituendo nella (5), si ottiene l'espressione di nell'intorno del punto a h , 

 nella forma 



(6) <P ;; = 1 G H . r a h . r (x - % (x — a h ) + % (x — a h ) ; 



e ciò vale per ogni punto a h , eccettuato per h = k. 



«Determinando ora le costanti arbitrarie (r = 1, 2, . . . m), dalle 

 m — 1 condizioni 



m 



' (7) X G ';-r <*h.r = 0 , (fte= 1, 2, . . . k — 1, k 1, .;. . m) 



r=i 



la funzione 4> h si determina in modo da mantenersi monodroma nell'intero 



(') Secondo l'csiiressione del Puchs. 



( 2 ) Conformemente alla notazione introdotta dal Weierstrass, indico con 'p (t) una 

 serie di potènze intere positive di t. 



