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piano, tagliato da a h all'infinito; d> ft è dunque una funzione semplice rela- 

 tiva ad a k , c. d. d. 



« Nel secondo caso, in cui Q (x) ha radici uguali, si faccia la mede- 

 sima costruzione che nel caso precedente ; si supponga p. es. che a x sia radice 

 multipla dell'ordine s di multiplicità. Essendo l'equazione (4) regolare, l'equa- 

 zione determinante relativa ad <*i sarà pure riducibile al grado s , ed avrà 

 le radici 



A 1 , A 1 , ... Ai , 



che suppongo non differire fra loro per numeri interi : la trattazione del caso 

 contrario, in cui la (4) avrebbe integrali a parte logaritmica, si potrebbe 

 fare nello stesso modo e si ommette a scanso di ripetizione. La (4) ammet- 

 tendo nell'intorno di «a., gl'integrali 



' I Il II (S) (S) 



(x— ^ (4 — «0 , {x — 93, (x — ccj),..: (% — «0 x i ^ {x — «0, 

 le (j r (r — 1, 2, . . . m) prenderanno, in quell' intorno, la forma 



a \.r (x — a i) X '< — "i) + a "r {fC—a^v (X — + 



^a^ix-a^f^x - a^ + ^^x-a,), 



da cui consegue subito mediante la sostituzione nella (5), la forma della <P 7; 

 nell' intorno di a l . Volendo ora determinare <P 7i per k = s -j- 1 , s -f- 2 , . . . m, 

 basta alle prime s equazioni del sistema (7) sostituire le 



m 



(8) IC l , f ^ = 0,(; l = l,2,3,...s); 



volendo invece <T> /; per k = 1, 2, 3, . . . s, basta sostituire alle prime s — 1 

 equazioni del sistema (7) , s ■ — 1 equazioni prese fra le (8) negli s modi pos- 

 sibili. Si vengono così ad ottenere s integrali diversi, che sono funzioni sem- 

 plici relative ad cc l . 



n 4. Consegue dal teorema precedente che l' integrale della equazione (3) 

 olomorfo nell' intorno di x = 0 si può, qualunque sia P (x) , esprimere linear- 

 mente mediante le funzioni semplici #\,<P 2 ,. . . <P TO nella forma 



y = A, 4», -f A 2 0> 2 + . . . A m Q> m , 



e questa formola si può riguardare come l'analoga di quelle che dà la scom- 

 posizione di una frazione razionale in frazioni semplici, cui essa si riduce 

 per p = 0. 



i 5. Dallo stesso teorema possiamo dedurne una conseguenza relativa ai 

 coefficienti delle serie di potenze 



oo 



£ CJn X n 

 n=0 



