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che soddisfano all'equazione (3). Questi coefficienti sono legati da un'equa- 

 zione alle differenze (ricorrente) di ordine m: 



( 9 ) ffn + Ha (») -f H 2 (n) g n - 2 + . . . E m (n) g n - m = 0, 



dove però, per i valori iniziali n = 0, 1, 2, . . . m — 1, i secondi membri non 

 sono nulli, bensì uguali ai coefficienti delle potenze corrispondenti di«r in F(x). 

 L'equazione limite della (9), cioè quella che si ottiene cambiando g n - h in x m ~ h 

 e le H n (h) nei loro limiti rispettivi per n = oo , è, come si verifica senza 

 difficoltà : 



(10) <Ht)-° 



« Se a P (x) si danndo m determinazioni linearmente indipendenti, si ven- 

 gono ad avere m integrali della (9) mediante i quali si esprimono linearmente 



Ci 



tutti gli altri. Ora, per un noto teorema del Poincaré, il limite di è, 



per n = oo , la radice di modulo massimo della (10), ma può eccezionalmente 

 essere un'altra radice di essa equazione ed anche quella di modulo minimo: in 

 quest'ultimo caso l' integrale della (9) si può chiamare distinto. Prendasi ora 

 l'integrale della (3) testé indicato con <P m , essendo a m la radice di modulo mas- 

 simo della Q (x) = 0 ; quest' integrale sarà sviluppabile in serie di potenze 

 2G( n x h convergente nel cerchio di centro x = 0 e di raggio \a m \, perciò il 



Gr 1 



limite di " +1 non potrà essere che , radice di modulo minimo della (10). 



Si ha così il modo di determinare l' integrale distinto della (9), il rapporto 

 del quale a qualunque altro integrale della stessa equazione ricorrente è nullo 

 per n = ce . 



« 6. Derivando m volte l'equazione (3), si ottiene un'equazione lineare 

 omogenea d'ordine m-\-p regolare ed in cui il coefficiente della più alta 

 derivata è x p Q (x) ; ora è facile stabilire per tutte le equazioni omogenee di 

 tale forma un teorema che si può riguardare come la generalizzazione di 

 quello dato a § 3. La dimostrazione procedendo in modo perfettamente ana- 

 logo, basta darne l'enunciato nei seguenti termini: 



«Un'equazione differenziale lineare omogenea regolare 

 della forma 



(11) x\'-a v -j^ + x\'- x ap-x j^z: + • • • + y> = 0 , 



dove aP è del grado p — /.i, ammette p — fi integrali che sono 

 funzioni semplici relative alle radici di a p . 



* Si tralasciano per brevità altre osservazioni cui darebbe luogo la pre- 

 sente questione, in particolare la rappresentazione delle funzioni semplici me- 

 diante integrali definiti ». 



