Matematica. — Nuove ricerche sulle linee coniugate di una 

 superficie. Nota di V. Reina, presentata dal Socio Cerruti. . 



« 1. In una Nota precedente ( l ) venne ricercata una espressione geome- 

 trica della forma differenziale bilineare C* : vogliamo ora instituire una 

 ricerca analoga sulle tre forme bilineari 



(1) A* — FtduSu -f- F (du.Sv + dvSu) + Gdv Sv , 



(2) B* — L du Su ~h M(du Sv + dv Su) -hììdvSv , 



(3) D* = F,du Su ~h Fi(du So + dv Su) +Gi dv Sv , 



le quali, come le tre forme differenziali quadratiche A, B, D, rimangono 

 invariate di valore, per una trasformazione di coordinate. 



« Il significato geometrico della prima è notissimo, cioè: 



(4) A* == ds Ss cos o) , 



essendo <» l'angolo compreso fra i due elementi ds, Ss, misurato nel senso 

 positivo da ds verso Ss. 



« Eseguendo sulla (2) quella trasformazione di coordinate, per la quale 

 la superficie viene riferita alle linee di curvatura, si ottiene (Vedi Nota ci- 

 tata, § 5). 



B* i= V U U + N' W iif = V*" + . 



Se quindi si conserva a % ed a x' il significato già us"ato, sarà: 



' cos % cos % sen % 



B* =r ds SS 



t sen x \ 



?2 / 



espressione che, per altra via, si trova pur dedotta da Knoblauch nella 

 Théorie ecc. già citata § 22. Ponendo in questa 



% = x -+- « i 



si ottiene, avuto riguardo alle (2) (4) della Nota precedente 



(5) ; B* = dsSsj^- s ^y 



Se i due elementi ds, Ss sono coniugati, sarà B* = 0, e l'angolo Si da essi 

 compreso sarà legato a q e r dalla relazione 



cos Si sen Sì ' 



Q ^ 



Ritroviamo così il teorema (20) (Nota cit.). 



« Le espressioni precedenti permettono però di stabilire un teorema più 

 generale. Se nella (5) si fa la sostituzione 



x = i — w » 



si ottiene 



(') V. Kendiconti, voi. VI, 1° semestre, pp. 156-165. 



