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« Il porre 



D* = 0 



equivale al considerare quegli elementi della superficie i quali hanno per cor- 

 rispondenti, nella immagine sferica, due elementi ortogonali. L'angolo W for- 

 mato da tali elementi sarà dato dalla relazione: 

 cos W / 1 1 \ sen W 



0 



rq 



« Se si eguagliano i secondi membri delle equazioni (6) (7) si ottiene : 



7 „ , . (cos» / 1 1 \ sen » ) 



da Sa cos w, = ds Ss ( 1 ) > ' 



( rq - \q 1 q 2 } % ) 



la quale equazione, quando si rifletta che, per la (9) (Nota cit). 



da 1_ Sa_ 1 



ds Ss ' 



dove i radicali si intendono presi positivamente, può anche scriversi: 



. , cos w x cos ai / 1 J_\ sen co _ 



■\/rq r' q' ~~ rq q 2 / % 



relazione che si verifica fra i valori q . . q' . . corrispondenti a due elementi 

 qualunque ds , Ss, il loro angolo w e l'angolo compreso dagli elementi 

 corrispondenti, nella rappresentazione di Gauss. 



« Se i due elementi ds, às sono coniugati, sarà per la (17) (Nota cit.) 



\/rq r' q = \q^q t \, 



dove con | q x q % | si intende il valore assoluto del prodotto q x q 2 . Osservando 

 ancora che per la (11) (Nota cit.) 



rq \Qx q 2 J q Qiq2 

 e tenendo presente la (20) (Nota cit.), la (8) si potrà scrivere, sostituendo al 

 solito Si, iìi ad a, w 1 : 



cos S2 1 _^ cos Sì q 



Di qui segue che, se la superficie è a curvatura totale negativa 

 si ha 



cos Sì 1 = cos Sì , Sì v — Q , 



ed i due elementi da, da, uscendo dal punto della immagine sferica, che cor- 

 risponde all'origine comune dei due elementi ds, Ss, formano lo stesso 

 angolo Si compreso fra questi ultimi, (misurato nel senso della rotazione 

 positiva, come venne precedentemente definita, da da verso Sa) 



(*) Questa prima parte del teorema venne già enunciata dal prof. Dini nella sua 

 Memoria: Sopra alcuni punti della teoria delle superficie. Memorie di Matematica e di 

 Fisica della Società Italiana dalle Scienze, 1868. (Cfr. § 20). Esso fu poi completato dal 

 prof. Bufimi nella Memoria : Di alcune proprietà della rappresentazione sferica di Gauss. 

 R. Acc. di Bologna S. IV", T. Vili, 



Rendiconti. 1890, Vol. VI, 1° Sem. 28 



