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«Se la superficie è a curvatura totale positiva, si ha 

 cos Sì x — — cos Sì , i3 x = 7f — Sì , 

 ossia l'angolo formato dagli elementi da, cV è supplementare 

 di quello compreso fra ds e és. 



« 3. La proprietà generale del mantenersi conservate le inclinazioni fra 

 le linee coniugate, nella rappresentazione sferica di una superficie è una con- 

 seguenza del seguente teorema : 



« Un elemento qualunque della superficie è normale a 

 quello che, nella immagine sferica, corrisponde all'elemento 

 coniugato. 



« Questo teorema, del quale ha dato una dimostrazione geometrica Dar- 

 boux ('), si può dimostrare per via analitica nel seguente modo semplicis- 

 simo. Si ha 



■~òa 1 "SX 



M = 



^- ~èu 7>w j/E ~ìu j/Gj ùv 



-t/EG x 



COS £ 



— — f/ GBi cos«! 



Fio. 1. 



Dz> ~M ' * "~ |/E -^/Ei 



dove con e, ?! si intendono gli angoli che le direzioni positive delle linee u, v 

 formano colle direzioni positive delle linee corrispondenti alle linee y, u rispet- 

 tivamente, nella imagine sferica. Se 

 le linee coordinate sono coniugate, si 

 ha, come è noto, 



M = 0 , 



ma allora, essendo E, G, E! , Gì quan- 

 tità essenzialmente positive diverse 

 da zero, dovrà essere necessariamente 



cos e == 0 cos «! = (), 

 ciò che dimostra il teorema. 



« Ora questo teorema esprime sol- 

 tanto una relazione di ortogonalità 

 fra due elementi coniugati di una 

 superficie ed i due elementi corri- 

 spondenti, nella rappresentazione di 

 Gauss, senza precisare la loro reci- 

 proca disposizione. Ma se esso si 

 connette coi precedenti risultati, si 

 vede subito che la disposizione rela- 

 tiva delle due coppie di elementi, 

 nel caso delle superficie a curvatura 

 F IGi 2. totale negativa è rappresentata sche- 



Òtf 



(!) Darboux, Leeoni sur la théorie des surfaces. Voi. I, pag. 201. 



