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rnaticamente dalla fig. 1 : in quello delle superficie a curvatura totale posi- 

 tiva è rappresentata dalla fig. 2. 



« 4. Indicando con q h , ^ , t u , r v i raggi di curvatura normale e di 

 torsione geodetica delle linee coordinate, si ha per le (6) (7) (nota cit.) : 

 ^ L N FL — EM GM — FN 



Qu E G r M Ej/EG — F 2 Gj/EG — F 2 



« Combinando la prima colla terza, ed avendo riguardo alle note relazioni 



F t/EG — F 2 



cos # = , : , sen 0- = r 



J/EG ' |/EG 

 esprimenti l'angolo compreso fra le linee coordinate, si ottiene : 



(10) M=t/ÈG( C -^-^). 



la quale espressione mette in evidenza quanto si è sopra asserito, cioè che, 

 se le linee coordinate sono coniugate, deve essere M = 0 , risultando ciò 

 dalla (20) (nota cit.). 



« Sostituendo i valori di L, M, N dati dalle (9) (10) nella espressione 



LN — M 2 



EG — F 2 



della curvatura totale, si ottiene 



1 ( 1 



K = 



/ cos 0- sen # V 



sen 2 0- (q u q v 



dalla quale, nel caso in cui le linee coordinate siano coniugate, in virtù 

 della (20) (nota cit.), discende come caso particolare (16) (nota cit.). 

 « La medesima sostituzione effettuata nella forinola 

 %_ 2_ EN — 2FM + GL 

 ~9i ~ EG — F 2 



porge 



H = — — 1 • — 2 cos iti — ) • 



sen 2 ( g u q v \ q u r u J ) 



ed anche qui, nella supposizione delle linee coordinate coniugate, si avrà, 

 indicando con Sì l'angolo da esse comprese, e sostituendo q, q a q u , q v 0) : 



(11) — •-4-V=sen , J2 (— + — ) ■ 

 9 9 \Qi Qì J 



Questa equazione, insieme alla (16) (Nota cit.), permette di formare imme- 

 diatamente l'equazione di 2° grado 



1 . _ / 1 IVI sen 2 £ 



(12) — — sen 2 i2 — + — ) 1 



, 9 \Qi 92/9 QiQt 



= 0 , 



(*) Questa equazione e la (16) della Nota precedente sono casi particolari di due 

 forinole dimostrate, per una coppia di direzioni sferoconiugate, dal prof. Cremona, nella 

 sua Nota: Intorno ad una proprietà delle superficie curve che comprende in sè come 

 caso particolare il teorema di Dupin sulle tangenti coniugate. Ann. di Matematica pura 

 ed applicata. Serie l a , t. Ili, pp. 325-335. 



