— 227 — 



il quadrato dell'elemento lineare del piano, riferito al sistema fissato di rette 

 ortogonali. 1/ elemento lineare sferico ds' corrispondente avrà per ipotesi la 

 forma ortogonale : 



e poiché l'area di una figura sferica deve essere eguale a quella della sua 

 rappresentazione piana, si dovrà avere 



EG = 1 . 



« Il problema proposto coincide adunque coli' altro di dare all'elemento 

 lineare sferico la forma 



(1) ds" = Kdp 2 -\-^-dy 2 . 



« Ora, per un noto teorema del sig. Weingarten ('), ad ogni forma del- 

 l'elemento lineare sferico 



ds'* = Kdp + Gdy\ 

 in cui G è una determinata funzione di E, corrisponde una classe di super- 

 ficie che hanno i raggi principali di curvatura funzioni l'uno dell'altro e che, 

 rappresentate al modo di Gauss sulla sfera, hanno per immagini delle- linee 

 di curvatura le linee /? = cost te , y = cost te . Posto 



4=-=«, -l= = 6'{a), 

 ]/E |/G V 



i raggi principali di curvatura r x , r 2 delle indicate superficie 2 sono dati 



dalle forinole 



r z = 6 (a) r x = 6 (a) — ad' («). 

 « Nel nostro caso adunque avendosi 



uff (a) = 1 , 



la relazione fra i raggi di cnrvatura della superficie 2 sarà 



r 2 — r x = 1 . 



« Anziché alla superficie 2, possiamo riferirci alle due falde della sua 

 evoluta, che sono, come è noto, due superficie pseudosferiche complementari 

 ed enunciare il risultato : 



u. Ad ogni coppia di superficie pseudosferiche comple- 

 mentari corrisponde una delle indicate rappresentazioni 

 equivalenti della sfera sul piano e inversamente. 



« Resta a vedersi come, nota una coppia di superficie pseudosferiche com- 

 plementari, si possano stabilire le effettive formole della corrispondente rap- 

 presentazione equivalente della sfera sul piano. Riferiamo per ciò le due super- 

 ficie pseudosferiche complementari S, S x alle linee di curvatura u, v, con che 

 i loro rispettivi elementi lineari ds, dsi saranno dati dalle formole 



l ds 2 = cos 2 6 du 2 -j- sen 2 8 dv 2 

 ( ds 2 = cos 2 (f du 2 -j- sen 2 (p dv 2 , 



(!) Journal voi) Creile. Bd. 62. 



