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le funzioni 8 (u : , v) , <p (ti, v) essendo legate fra loro dalle equazioni del 

 sig. Darboux (') 



D<p . DO 



- — -f- — = cos 8 sen w 

 Du 1 Dv 



Dq> . DO 



— - -\ — — sen 8 cos <r. 



Dv 1 Du 



« Se indichiamo con x, y, z le coordinate di un punto P di S e con 

 Xi , y u Zi quelle del corrispondente punto Pi di Si e poniamo 



£==Xi — x , f = ì/i — y , C = Zi — z , 



saranno £, r ; , £ i coseni di direzione della retta PPi ed avremo 



cos (p Dx , sen <p Dx 



(2) >;= 



cos 8 Du sen 0 ~ìv 

 cos (p Dy . sen (p Dy 

 cos 8 sen 8 iv 



\ ^ cos q> Dz , sen w Dz 



è> — -f- • 



\ cos 8 Du sen 6 ~òv 



« Il sistema doppiamente infinito di rette PPi sarà appunto quello delle 

 normali alle comuni evolventi 2 delle superficie S, Si i cui raggi di curva- 

 tura sono legati dalla relazione 



r 2 — Ti = 1 . 

 « L'elemento lineare sferico 



ds' 2 = d¥- + drf -f di 2 



si troverà dunque ridotto alla forma voluta (1), quando per linee /?, y si pren- 

 dano quelle corrispondenti alle linee di curvatura delle evolventi 2. Ora è 

 ben noto che sulle superficie complementari S, Si l'equazione differenziale 

 cos 8 cos (p du -(- sen 8 sen (p dv = 0 



definisce, per ciascuna superficie, un sistema di oricicli paralleli ; le loro rispet- 

 tive traiettorie ortogonali sono appunto le linee corrispondenti alle indicate 

 /?, y. Le equazioni in termini finiti di questi sistemi di linee si ottengono 

 colle seguenti quadrature (Darboux 1. c.) 



x = J^(cos 8 cos ip da -{- sen 8 sen <p dv) 



(3) < = j*c a (cos 8 sen cp du — sen 8 cos (p dv) 



y = J~£ -a (sen 8 cos <p> du — cos 8 sen (p dv) . 



(!) Comptes Rendus. T. XCVII, 1883. Cf. anche la mia Memoria negli Annali di 

 matematica. Serie 2 a , T. XIII , o le Lezioni di Geometria differenziale §§ 91, 92. 



